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| Aufgabe | | Sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum mit Unterräumen [mm] $W_1$ [/mm] und [mm] $W_2$. [/mm] Zeige: [mm] $(W_1+W_2)^0=W_1^0\cap W_2^0$. [/mm] |
Hallo liebe Helfer,
bei dieser Aufgabe bin ich nicht sicher, ob ich sie so lösen darf, wie ich es tue:
Setze [mm] $W:=(W_1+W_2)\subseteq [/mm] V$ und [mm] $U:=W_1^0\cap W_2^0\subseteq V^\*$.
[/mm]
Sei überdies [mm] $\lambda :V\to V^{\*\*}$, \alpha\mapsto L_\alpha=f(\alpha)$ [/mm] für alle [mm] $f\in V^{\*}$ [/mm] ein Isomorphismus vom VR V zum Bidualraum [mm] $V^{\*\*}$.
[/mm]
Dann ist: [mm] $dimV^\*=dimU+dimU^0=dimV=dimW+dimW^0$
[/mm]
Daraus folgt aber wegen [mm] $W\cong U^0$, [/mm] dass [mm] $dimU=dimW^0$.
[/mm]
Es genügt nun zu zeigen, dass [mm] $U\subseteq W^0$ [/mm] ist.
Es ist jedoch wegen Definition von [mm] $\lambda$:
[/mm]
[mm] $W=\{\alpha\in V|f(\alpha)=0$ für alle $f\in U\}$
[/mm]
Sei nun [mm] $f\in [/mm] U [mm] \Rightarrow f(\alpha)=0$ [/mm] für alle [mm] $\alpha\in [/mm] W$ und damit [mm] $f\in W^0$.
[/mm]
Könnte es so funktionieren?
Ich wäre sehr dankbar für Kommentare zu dieser Lösung oder wohl eher Lösungsversuch.
Vielen Dank und liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 03.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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