Annäherung an einen Graph < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Allgemein gilt: Je höher der Grad eines Annährung-Polynoms, desto besser die Annäherung an einen Graph.
Zeige anhand eines Polynoms 3. Grades, dass eine lineare Annäherung an dessen Graph im Wendepunkt und Umgebung ausreicht, wobei die Umgebung möglichst klein gehalten werden soll. |
Da die Ableitung am Wendpunkt 0 ist, fällt anscheinend der [mm] x^2 [/mm] - Term des Annäherungspolynoms 2. Grades weg! Deswegen reicht damit die lineare Annäherung ( durch Wendetangente) aus!
Kann mir das jemand algebraisch veranschaulichen? Ich verstehe den Zusammenhang nicht so!
Irgendwie zieht man die Polynome des Graphens und des Annäherungsgraphens voneinander ab???
Ich wäre sehr dankbar, wenn jemand mein Problem versteht und mir helfen könnte!!!!! Vielleicht auch piet.t ?
Schneeflocke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Schneeflocke,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Allgemein gilt: Je höher der Grad eines Annährung-Polynoms,
> desto besser die Annäherung an einen Graph.
> Zeige anhand eines Polynoms 3. Grades, dass eine lineare
> Annäherung an dessen Graph im Wendepunkt und Umgebung
> ausreicht, wobei die Umgebung möglichst klein gehalten
> werden soll.
> Da die Ableitung am Wendpunkt 0 ist,
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") wieso denn dies? Das gilt nicht allgemein!
> fällt anscheinend der
> [mm]x^2[/mm] - Term des Annäherungspolynoms 2. Grades weg! Deswegen
> reicht damit die lineare Annäherung ( durch Wendetangente)
> aus!
> Kann mir das jemand algebraisch veranschaulichen?
Wie wär's mit einer Beispielaufgabe deinerseits?
An welcher Funktion willst du denn die Aufgabe untersuchen?
Vielleicht gibst du uns ein paar Lösungsansätze, damit wir dir schneller helfen können?
> Ich verstehe den Zusammenhang nicht so!
> Irgendwie zieht man die Polynome des Graphens und des
> Annäherungsgraphens voneinander ab???
> Ich wäre sehr dankbar, wenn jemand mein Problem versteht
> und mir helfen könnte!!!!! Vielleicht auch piet.t ?
>
> Schneeflocke
Du redest in Rätseln ...
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 Fr 03.02.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo Schneeflocke. Bitte poste deine Frage nur in einer Rubrik und vermeide Doppelposts.
Disap
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Wie kann ich denn direkt auf eure Antworten eingehen, ohne das ich eine neue Frage stellen muss? Ich schreib jetzt unter "neue Frage", möchte aber gerne auf die einzelnen Antworten eingehen:
zu disap: Ich meine natürlich, dass die ZWEITE Ableitung am Wendepunkt immer 0 ist!
Ich muss darüber Referat halten, deswegen wollte ich generell nochmal fragen, durch welche Methode man sich denn an einen Graphen annähert!
Wenn man zum Beispiel die Funktion:
[mm] 2x^3+3x^2+4x+1 [/mm] nimmt, und diese in der Nähe des Wendepunktes untersucht, dann kann man anscheinend durch immer höhere polynome sich dem Graph immer besser annähern! In diesem Fall reicht eben die Lineare Annäherung! Wieso, ist mir auch klar, aber mir fehlen die allgemeinen Grundlagen!
Allgemein ist das die Basis für den Taylor-Beweis, aber den muss ich nicht können! Ich soll nur die allgemein Idee so einer Annäherung beschreiben!
Falls ihr damit nichts anfangen könnt, versteh ich das! ich blick ja selber nicht durch! :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 Sa 04.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Schneeflocke
Zum Annähern von Funktionen benutzt man Polynome, weil man die leicht ausrechnen kann (Man muss nur Werte multiplizieren.
Andere Funktionen kann man eigentlich gar nicht auswerten!
Du könntest (wenn du unbedingt musst) ein Polynom mit Bleistift und Papier an vielen Punkten ausrechnen. aber [mm] 2^{x} [/mm] nur an den ganzzahligen Stellen, ebenso sin(x).
Das wird auch nicht besser, wenn man mehr Mathe kann.
Die Computer und TR haben nur schon eingebaut die passenden Polynome auszurechnen.
Wie findet man die jetzt? Man hat festgestellt, dass wenn man eine Funktion nur an einer Stelle sehr, sehr genau kennt, dann weiss man auch noch wie sie ein ganzes Stück entfernt davon aussieht! An der einen Stelle muss man möglichst viele Ableitungen kennen, dann kommt man sehr weit.
1. Eine Gerade ist durch einen Pkt und eine Steigung=1. Ableitung überall festgelegt. Eine Parabel ist durch 3 Punkte festgelegt, oder durch einen Punkt, und die 1. und 2. Ableitung in dem Punkt.
Stell ne allgemeine quadratische Gleichung auf, gib dir selbst vor Wert bei 0, 1. Ableitung bei 0 und 2. Ableitung bei 0 und du kannst sie eindeutig bestimmen. (statt 0 geht natürlich auch jeder andere Wert.
Ein polynom 3. Grades ist festgelegt durch 4 Punkte, oder den Wert an EINER Stelle und die ersten 3 Ableitungen. usw.
Deshalb glaubt man auch, dass Fkt, die keine Polynome sind durch solche ungefähr bestimmen zu können, je mehr Ableitungen man hat, umso besser!
Also z.Bsp sin(x), Wert und die Werte aller Ableitungen kennt man an der Stelle 0. deshalb kann man das Polynom finden, das dann ein Stück weit wie sin verläuft.
Jetzt zu dem Wendepkt. Da man nicht gleich mit so was wie sin arbeiten will, zeigt man am Beispiel des Wendepunktes, dass man ein Polynom 3. Grds in der Nähe eines Wendepunktes schon sehr genau kriegt, wenn man es nur durch ne Gerade annähert, genau so genau, wie man es an nem anderen Punkt durch ne Parabel annähern würde.
Also nimm dir ein Beispiel [mm] y=(x-1)^3 [/mm] +2x hat bei x=1 nen Wendepunkt. Die Tangente dort hat die Steigung 2 also kannst du sie ausrechnen.
Jetzt rechnest du den Wert der Tangente bei x=1,05 aus, und den der Funktion. Fesstellung, fast kein Unterschied. dann bei x=1,1 dann 1,2 und langsam merkt man den Unterschied.
jetzt mach dasselbe an einem nichtwendepunkt, z,Bsp bei x =0 rechne wieder die Tangente, und vergleich wieder die Werte von Fkt und Tangente, jetzt bei 0.05; 0.1; 0.2 usw. Der unterschied ist größer!
Dann nimm in Null ne quadratisch Fkt, die dieselbe 1. und 2. Ableitung hat und rechne wieder die Werte in der Nähe von 0 aus. Das sollte jetzt so gut sein wie vorher die Tangente im Wendepunkt.
Stark vergrößerte Zeichnungen , in denen die Geraden und Parabeln eingezeichnet sind, helfen das zu zeigen. Und wenn dirs Spass macht, kannst du dann noch den sin in der Nähe von 0 durch seine Tangente annähern. (weil sin nen Wendepkt bei 0 hat.
Gruss leduart
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Vielen Dank leduart für deine ausführliche Antwort!!!!
Ich habe nur noch eine Frage:
Wenn ich die Funktion durch eine Parabel an einem Punkt annähern will- ist dann geometrisch gesehen der Scheitelpunkt der Parabel an dem Punkt auf der Funktion? Manchmal sieht es nämlich so aus, als ob die Tangente eine bessere Annäherung hat, als wenn ich eine Parabel in diesem Punkt zeichne!
Zu deinem Beispiel: wenn ich die funktion y= [mm] (x-1)^3 [/mm] +2x habe, wie kann ich dann die Parabel in einem bestimmten Punkt (nicht Wendepunkt und nicht 0) ermitteln? ich hatte nur 2 punkte, der 3. fehlt mir!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 So 05.02.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo schneeflocke,
> Vielen Dank leduart für deine ausführliche Antwort!!!!
> Ich habe nur noch eine Frage:
> Wenn ich die Funktion durch eine Parabel an einem Punkt
> annähern will- ist dann geometrisch gesehen der
> Scheitelpunkt der Parabel an dem Punkt auf der Funktion?
Im allgemeinen nicht, nur wenn die Funktion im Entwicklungspunkt eine Nullstelle der ersten Ableitung hat.
> Manchmal sieht es nämlich so aus, als ob die Tangente eine
> bessere Annäherung hat, als wenn ich eine Parabel in diesem
> Punkt zeichne!
Wie oben gesagt: der Scheitel der Parabel liegt nicht unbedingt im Entwicklungspunkt sondern möglicherweise irgendwo anders. Man muss also auch den richtigen "Abschnitt" der Parabel einzeichnen....
> Zu deinem Beispiel: wenn ich die funktion y= [mm](x-1)^3[/mm] +2x
> habe, wie kann ich dann die Parabel in einem bestimmten
> Punkt (nicht Wendepunkt und nicht 0) ermitteln? ich hatte
> nur 2 punkte, der 3. fehlt mir!
Wie leduart schon gesagt hat:
> Dann nimm in Null ne quadratisch Fkt, die dieselbe 1. und 2. Ableitung hat ...
Natürlich muss sie im Entwicklungspunkt auch den gleichen Funktionswert haben. Eine quadratische Näherung um den Entwicklungspunkt [mm] x_0 [/mm] bekommt man also, indem man eine allgemeine quadratische Funktion aufstellt:
q(x) = a [mm] x^2 [/mm] + b x + c
und nun die o.g. Bedingungen betrachtet:
[mm] q(x_0) [/mm] = [mm] f(x_0)
[/mm]
[mm] q'(x_0) [/mm] = [mm] f'(x_0)
[/mm]
[mm] q''(x_0) [/mm] = [mm] f''(x_0)
[/mm]
aus den drei Gleichungen kann man dann die drei Parameter a, b und c bestimmen und erhält so die gesuchte Parabel.
Gruß
piet
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Hallo piet!
Wenn ich das richtig verstehe ist es also total falsch wenn ich sage:
a = f''(x°) ,
b = f' (x°) ,
c = f (x°)
für die Bestimmung der Parabel [mm] ax^2+bx+c [/mm]
( also die 2. Näherung in x°) ?????
Das hätte ich jetzt so auf mein Handout geschrieben! :)
Aber wieso braucht man dann im Wendepunkt nur die lineare Näherung mit der Begründung, dass die 2. Ableitung ja 0 ist?
Wenn a = f''(x°) wäre, wäre das für mich total logisch! Dann fällt ja der [mm] x^2-Term [/mm] automatisch weg! Aber wie ist es dann richtig begründet???
Schneeflocke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 So 05.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Schneeflocke
1. du suchst dir ne konkretes polynom 3. grades.p3(x)
2. du nimmst irgendeinen Pkt ,x=k ausser dem Wendepkt.
3. du rechnest an diesem Punkt p3(k), p3'(k), p3''(k) aus.
4. du machst den Ansatz [mm] y=ax^2+bx+c, [/mm] daraus y'=2ax+b, y''=2a.
jetzt musst du a,b,c so bestimmen dass
p3''(k)=2a
p3'(k) =2a*k+b
p3(k) [mm] =ak^2+bk+c [/mm] ist.
dann hast du die Parabel, die im Punkt x=k denselben Wert und die selben 1. und 2. Ableitungen hast.
Die Parabel zeichnest du jetzt zusammen mit p3 möglichst vergrößert in der Gegend von x=k, wenn du auch noch die Tangente einzeichnest, siehst du wer schneller "wegläuft".
Wenn du dasselbe im Wdpkt machst, bekommst du 2a=0, d.h. schon die Gerade hat Wert, 1. und 2. Ableitung mit der Kurve gemeinsam ist also genauso "gut" wie an anderen Stellen die Parabel!
Du solltest wirklich mal mit echten Kurven und nem Programm arbeiten ( z. Bsp, freeware geogebra) das dir Kurven auch beliebig vergrößert zeichnet!
Das hilft, das Ganze besser zu verstehen!
Gruss leduart
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Vielen Dank für eure Hilfe!!!! Ich denke, ich hab das jetzt verstanden!!!
Viele Grüße, Schneeflocke
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