Angabe der Lösungsmenge < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | x-2z=-1
[mm] 3x+2y-a^2 [/mm] z=7+2a
-2x+y+5z=5
Geben sie die Lösungsmenge für den Fall der unendlich vielen Lösungen an. |
also ich hab ausgerechnet das für a=-2 gewählt werden muss damit das gleichungssystem unendlich viele lösungen hat. Laut der Lösung stimmt das auch. Aber bei der Lösungsmenge komm ich ins schleudern, denn da steht in der Lösung:
z.B. [mm] :\vec{x}=(-1,3,0)^T+t(2,-1,1)^T
[/mm]
Wieso z.B.?.....gibt es da mehrere? Und wieso ist die Lösungsmenge als Gerade angegeben? Sorry für die blöden Fragen. Kann mir das jemand erklären wie die darauf gekommen sind und wie man das im allgemeinen berechnet?
Gruß, Esperanza
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Hallo Esperanza!
> x-2z=-1
> [mm]3x+2y-a^2[/mm] z=7+2a
> -2x+y+5z=5
>
> Geben sie die Lösungsmenge für den Fall der unendlich
> vielen Lösungen an.
> also ich hab ausgerechnet das für a=-2 gewählt werden muss
> damit das gleichungssystem unendlich viele lösungen hat.
> Laut der Lösung stimmt das auch. Aber bei der Lösungsmenge
> komm ich ins schleudern, denn da steht in der Lösung:
>
> z.B. [mm]:\vec{x}=(-1,3,0)^T+t(2,-1,1)^T[/mm]
>
> Wieso z.B.?.....gibt es da mehrere? Und wieso ist die
> Lösungsmenge als Gerade angegeben? Sorry für die blöden
> Fragen. Kann mir das jemand erklären wie die darauf
> gekommen sind und wie man das im allgemeinen berechnet?
Ui - jetzt hast du mich glatt ins Schleudern gebracht - mann, hab' ich so etwas lange nicht gemacht... Aber ich weiß es wieder. 
Zu deiner ersten Frage: Natürlich gibt es da mehrere Lösungen, schließlich hast du doch berechnet, dass es unendlich viele gibt. Und das sind ja wohl mehrere.  Und es gibt auch mehrere Möglichkeiten diese darzustellen. Und zwar bekommst du doch beim Lösen des LGS in der ersten Zeile die "Bedingung" x=-1+2z, setzt du das in die dritte Gleichung ein und löst nach y auf, erhältst du y=3-z. Du hast also alle Variablen in Abhängigkeit von z angegeben. Um jetzt eine beliebige Lösung zu bekommen, kannst du z beliebig wählen und dir x und y nach diesen "Vorschriften" ausrechnen. Im Fall deiner Lösung wurde z=0 gewählt, ist natürlich das einfachste. Da ergeben sich dann x=-1 und y=3. Das ist der erste Vektor dieser Lösung. Aber was passiert nun, wenn du z=1 wählst? Dann kommen zu dem x genau 2 hinzu (es war ja x=-1+2z), und von dem y wird 1 abgezogen (es war ja y=3-z). Und das z wurde natürlich um 1 erhöht (wir hatten zuerst z=0 und jetzt z=1), also kommt dort 1 hinzu. Und das ist genau das, was der zweite Vektor aussagt. (Das t davor sagt einfach nur, wie oft du z um 1 erhöhst.)
Klar jetzt?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo!
Das LGS in Matrixform sieht so aus:
[mm] \left( \begin{array}{ccc|c} 1&0&-2&-1\\
3&2&-{a}^{2}&7+2\,a\\
2&1&5&5\end{array} \right)
[/mm]
Wir bringen dies auf Dreiecksgestalt:
[mm] \left( \begin{array}{ccc|c} 1&0&-2&-1\\\noalign{\medskip}0&2&-{a}^{2}+6&10+2\,a\\\noalign{\medskip}0&0&{a}^{2}-4&-2\,a-4\end{array}
\right) [/mm]
zur besseren Übersicht faktorisieren wir mal die Terme der Hauptdiagonale:
[mm] \left( \begin{array}{ccc|c} 1&0&-2&-1\\\noalign{\medskip}0&2&-{a}^{2}+6&10+2\,a\\\noalign{\medskip}0&0&(a+2)(a-2)&-2\,(a+2)\end{array}
\right) [/mm]
Jetzt siehst Du, dass sich für $a=-2$ eine Nullzeile ergibt´(schon mal was vom Rang einer Matrix gehört?)
für $a=-2$ ergibt sich folgende Matrix:
[mm] \left(\begin{array}{ccc|c} 1&0&-2&-1\\ 0&2&2&6
\\ 0&0&0&0\end{array} \right)
[/mm]
Eine Variable ist jetzt frei wählbar (eine Nullzeile oder [mm] $n-\mathrm{Rg}(A|\vec{b})=3-2=1$:
[/mm]
Sei dazu [mm] $x_3=\lambda \in \mathbb{R}$ [/mm] beliebig, d. h. [mm] $\lambda$ [/mm] durchläuft alle reelle Zahlen.
Die zweite Zeile lautet dann:
[mm] $2\,x_2 [/mm] + [mm] 2\,\lambda [/mm] = 6 [mm] \iff x_2 [/mm] + [mm] \lambda [/mm] = 3 [mm] \iff x_2 [/mm] = [mm] 3-\lambda$
[/mm]
Dies setzen wir nun in die erste Zeile ein:
[mm] $1\,x_1 -2,\lambda [/mm] = -1 [mm] \iff x_1 [/mm] = -1 + [mm] 2\,\lambda$.
[/mm]
Damit haben wir nun den Lösungsvektor
$ [mm] \vektor{ x_1 \\ x_2 \\ x_3 } [/mm] = [mm] \vektor{ -1 + 2\,\lambda \\ 3 - \lambda \\ \lambda}; \; \lambda \in \mathbb{R}$
[/mm]
Da können wir nun aufsortieren und trennen:
[mm] $\vec{x}=\vektor{ -1 \\ 3 \\ 0 } [/mm] + [mm] \lambda\, \vektor{ 2 \\ -1 \\ 1 }; \; \lambda \in \mathbb{R}$
[/mm]
Dies können wir geometrisch interpretieren als Gerade im Anschauungsraum. Der erste Vektor (ohne [mm] $\lambda$ [/mm] ist das der Stützvektor der Geraden, der zweite Vektor ist der Richtungsvektor). Und weil [mm] $\lambda$ [/mm] alle reellen Zahlen durchläuft, wird der Richtungsvektor mit jeder reellen Zahl multipliziert, wodurch sich die Gerade ergibt.
Gruß
mathemak
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 Di 25.07.2006 | | Autor: | Esperanza |
Danke an die beiden Beantworter! Ihr habt mir sehr geholfen. Nur welches Schema wende ich jetz in der Klausur an? Hoffentlich kann ich mich da entscheiden...oder gibts da nen Trick wie ich das sehen kann?
Gruß, Esperanza
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