Anfangswertsprobleme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:36 So 05.07.2009 | | Autor: | nono |
| Aufgabe 1 | Aufgabe:
Sei [mm] y(y_{0}; [/mm] t) die Lösung des Anfangswertproblems
y'(t) = f(t; y); [mm] y(t_{0}) [/mm] = [mm] y_{0}
[/mm]
in Abhängigkeit vom Startwert [mm] y_{0}. [/mm] Nehmen Sie ohne Beweis an, dass y stetig di ferenzierbar von [mm] y_{0} [/mm] abhängt. Geben Sie für
w(t) := [mm] \partial_{y0}y(y_{0}; [/mm] t)
ein Anfangswertproblem an. |
| Aufgabe 2 | (a) Geben Sie für das Anfangswertproblem
y' = [mm] y^{\alpha} ; [/mm] y(0) = [mm] y_{0} [/mm] > 0
mit [mm] \alpha> [/mm] 1 eine Lösung an.
(b) Sei das Anfangswertproblem
y' = f(y); y(0) = [mm] y_{0} [/mm] > 0
mit [mm] f(y)\ge Cy^{\alpha} [/mm] für y > 0 mit [mm] \alpha [/mm] > 1 gegeben. Zeigen Sie: Jede Lösung dieser DGL wächst in endlicher Zeit über alle Grenzen.
|
Hallo liebe mathematiker/in,
Ich habe folgenden Aufgabe zu lösen und erhlich gesagt fängt gerade erst mit differentialgleichungen an und ausserdem verstehe überhaupt nichts davon. Könnt ihr so net sein und mich helfen?
Tausend Dank
nono
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:23 So 05.07.2009 | | Autor: | Disap |
Hallo!
> (a) Geben Sie für das Anfangswertproblem
>
> y' = [mm]y^{\alpha} ;[/mm] y(0) = [mm]y_{0}[/mm] > 0
>
> mit [mm]\alpha>[/mm] 1 eine Lösung an.
Es hilft, wenn du es umschreibst
$y' = [mm] y^a$
[/mm]
[mm] $\frac{dy}{dt} [/mm] = [mm] y^a$
[/mm]
[mm] $\frac{dy}{dt}\frac{1}{y^a} [/mm] = 1$
[mm] $\frac{dy}{y^a} [/mm] = 1dt$
Kommt dir diese Form bekannt vor?
[mm] $\int \frac{dy}{y^a} [/mm] = [mm] \int [/mm] 1dt$
...
> (b) Sei das Anfangswertproblem
>
> y' = f(y); y(0) = [mm]y_{0}[/mm] > 0
>
> mit [mm]f(y)\ge Cy^{\alpha} [/mm] für y > 0 mit [mm] \alpha[/mm] > 1
> gegeben. Zeigen Sie: Jede Lösung dieser DGL wächst in
> endlicher Zeit über alle Grenzen.
Wie man das mathematisch korrekt macht, weiß ich leider nicht.
LG
Disap
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 So 05.07.2009 | | Autor: | nono |
Danke schon mal Disap für deine Hinweise, ich versuche mal weiter.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 So 05.07.2009 | | Autor: | Disap |
Hall noch mal.
> (a) Geben Sie für das Anfangswertproblem
>
> y' = [mm]y^{\alpha} ;[/mm] y(0) = [mm]y_{0}[/mm] > 0
>
> mit [mm]\alpha>[/mm] 1 eine Lösung an.
>
> (b) Sei das Anfangswertproblem
>
> y' = f(y); y(0) = [mm]y_{0}[/mm] > 0
>
> mit [mm]f(y)\ge Cy^{\alpha} [/mm] für y > 0 mit [mm] \alpha[/mm] > 1
> gegeben. Zeigen Sie: Jede Lösung dieser DGL wächst in
> endlicher Zeit über alle Grenzen.
Ich bin mir hierzu nicht sicher, ob die folgenden Zeilen das Problem lösen; aber bis jetzt hat ja noch niemand dazu etwas geschrieben
Ich würde das ganze so versuchen:
Sei [mm] $y_1 [/mm] > [mm] y_2$
[/mm]
Dann ist [mm] $y_1^a [/mm] > [mm] y_2^a$, [/mm] da a > 1
Und dann ist auch [mm] $C*y_1^a [/mm] > [mm] C*y_2^a$,
[/mm]
Insgesamt ist jetzt
[mm] f(y_1) \ge C*y_1^a
[/mm]
und
[mm] f(y_2 [/mm] ) [mm] \ge C*y_2^a
[/mm]
Subtrahieren wir diese letzten beiden Gleichungen
[mm] f(y_1) [/mm] - [mm] f(y_2) \ge C*y_1^a-C*y_2^a
[/mm]
[mm] f(y_1) [/mm] - [mm] f(y_2) \ge C*(y_1^a-y_2^a) [/mm] > 0
da [mm] (y_1^a-y_2^a) [/mm] > 0 und C > 0 (C > 0 nehme ich hier an, weil [mm] y_0 [/mm] > 0 ist)
Und aus [mm] f(y_1) [/mm] - [mm] f(y_2) [/mm] > 0 folgt streng monoton wachsend (also nicht beschränkt) und damit die Behauptung.
Das sind meine Gedanken dazu, muss nicht heißen, dass die richtig sind.
Trotzdem...
liebe Grüße
Disap
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Do 09.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
