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| Aufgabe | Lösen Sie die folgenden AWP's:
a) $x'(t) =$ [mm] (x(t)+t)^2 [/mm] für t [mm] \in [\pi/4; \pi/2), x(\pi/4)=1-\pi/4
[/mm]
b) $x'(t) = $ [mm] \bruch{t^2 sin(t)}{cos(x(t))} [/mm] für t [mm] \in [/mm] [0; 1.5), x(0)=0 |
Hallo zusammen,
habe hier zwei von vier Anfangswertproblemen. Es gibt auch noch c) und d)... ich hoffe aber es reicht a) und b) zu verstehen um die restlichen auch zu lösen.
Kann mir hierbei jemand helfen? Für mich klingt das so, als gebe eine Rezept um solche Aufgabentypen zu lösen, nur kenne ich es leider nicht.
Gruss kaykay
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Hallo kaykay,
> Lösen Sie die folgenden AWP's:
> a) [mm]x'(t) =[/mm] [mm](x(t)+t)^2[/mm] für t [mm]\in [\pi/4; \pi/2), x(\pi/4)=1-\pi/4[/mm]
>
>
> Kann mir hierbei jemand helfen? Für mich klingt das so,
> als gebe eine Rezept um solche Aufgabentypen zu lösen, nur
> kenne ich es leider nicht.
Generalrezepte gibt es fast nie ..
Bei a) kannst du es mal mit einer Substitution versuchen:
[mm]u:=u(t)=x(t)+t[/mm]
Damit [mm]u'(t)=\frac{du}{dt}=x'(t)+1=u(t)^2+1[/mm]
Also [mm]u'=u^2+1[/mm]
Das ist nett trennbar ...
Am Ende resubstituieren ...
> Gruss kaykay
Gruß
schachuzipus
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Danke!
Habe dann arctan(u)=t+c, also u=tan(t+c).
resubstitution ergibt
x(t)=tan(t+c)-t mit [mm] x(pi/4)=1-\pi/4.
[/mm]
daraus folgt [mm] tan(\pi/4+c)=1. [/mm] also c=0.
somit: x(t)=tan(t)-t.
stimmt das so?
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Hallo kaykay_22,
> Danke!
> Habe dann arctan(u)=t+c, also u=tan(t+c).
> resubstitution ergibt
> x(t)=tan(t+c)-t mit [mm]x(pi/4)=1-\pi/4.[/mm]
> daraus folgt [mm]tan(\pi/4+c)=1.[/mm] also c=0.
>
> somit: x(t)=tan(t)-t.
> stimmt das so?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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Hallo nochmal,
> b) [mm]x'(t) =[/mm] [mm]\bruch{t^2 sin(t)}{cos(x(t))}[/mm] für t [mm]\in[/mm] [0;
> 1.5), x(0)=0
Wenn du mit [mm] $\cos(x(t))$ [/mm] durchmultiplizierst bekommst du
[mm] $\cos(x(t))\cdot{}x'(t) [/mm] \ = \ [mm] t^2\sin(t)$
[/mm]
Nun mal ganz scharf die linke Seite anstarren ... ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]") 
Na? Fällt dir was auf?
Gruß
schachuzipus
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DIe linke Seite ist:
sin'(x(t))? :O
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 So 10.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> DIe linke Seite ist:
> sin'(x(t))? :O
Ja
FRED
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Inwiefern hilft mir das? Trennung der Variablen bekomme ich da nicht hin. Und durch raten komme ich auch nicht drauf.... ich finds so kompliziert weil einmal das argument im sinus x(t) ist und das andere mal nur t.
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Hallo nochmal,
> Inwiefern hilft mir das? Trennung der Variablen bekomme ich
> da nicht hin. Und durch raten komme ich auch nicht
> drauf.... ich finds so kompliziert weil einmal das argument
> im sinus x(t) ist und das andere mal nur t.
Was liegt denn näher als beiderseits zu integrieren?
Eine Stammfunktion linkerhand kennen wir ja nun
Gruß
schachuzipus
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durch integrieren auf beiden Seiten erhalte ich
sin(x(t)) = 2t sin(t) - [mm] (t^2-2) [/mm] cos(t) + c
mit der Anfangswertbedingung x(0)=0, erhalte ich c=-2...
das wichtigste ist aber wohl x(t) als Lsg der DGL, wie kann ich darauf kommen durch Umformung?
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Hallo kaykay_22,
> durch integrieren auf beiden Seiten erhalte ich
>
> sin(x(t)) = 2t sin(t) - [mm](t^2-2)[/mm] cos(t) + c
>
> mit der Anfangswertbedingung x(0)=0, erhalte ich c=-2...
> das wichtigste ist aber wohl x(t) als Lsg der DGL, wie
> kann ich darauf kommen durch Umformung?
Durch Auflösung nach x(t).
Wende auf die erhaltene Gleichung den Arkussinus an.
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | c) [mm] x'(t)=\bruch{t}{x}+\bruch{2x}{t} [/mm] für t [mm] \in [2,\infty), [/mm] x(2)=1
d) [mm] x'(t)=-4tx(t)-e^{6t^2}(x(t))^4 [/mm] für t [mm] \in [0,\infty), [/mm] x(0)=4 |
hat hier jemand einen tipp mit was ich anfangen soll?
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Hallo,
zu c)
> c) [mm]x'(t)=\bruch{t}{x}+\bruch{2x}{t}[/mm] für t [mm]\in [2,\infty),[/mm]
> x(2)=1
> hat hier jemand einen tipp mit was ich anfangen soll?
Was hast du denn probiert?
2 Ideen:
1) Als Bernoulli-Dgl: Stelle um
[mm]x'(t)=-\frac{2x(t)}{t}=\frac{t}{x}[/mm]
Dann alles [mm]\cdot{}2x(t)\neq 0[/mm]
Gibt: [mm]2x(t)x'(t)-\frac{2x(t)^2}{t}=\frac{2tx(t)}{x}[/mm]
Dann springt die Substitution [mm]u(t):=x(t)^2[/mm] ins Auge ...
2) Als homogene Dgl.
Substituiere [mm]u(t)=\frac{x(t)}{t}[/mm]
Dann kommst du auf eine leicht zu lösende trennbare Dgl.
Gruß
schachuzipus
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Danke! Hab mich für deine zweite Idee entschieden.
Komme nach Subsitution mit u(t)=x(t)/t auf
$$ u'(t) * t = [mm] \bruch{1}{u(t)} [/mm] + 2u(t) $$
Ist das die leicht trennbare DGL, die du meinst?
Habe multipliziert mit u, also erhalte
$$ u * u' * t + [mm] u^2 [/mm] = 1 + [mm] 2u^2 [/mm] $$
Aber irgendwie vereinfacht sich dadurch die Sache nicht wirklich....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Do 14.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke! Hab mich für deine zweite Idee entschieden.
> Komme nach Subsitution mit u(t)=x(t)/t auf
>
> [mm]u'(t) * t = \bruch{1}{u(t)} + 2u(t)[/mm]
Ich komme auf
[mm]u'(t) * t = \bruch{1}{u(t)} + u(t)[/mm].
Wenn x=tu(t), so ist x'=u(t)+tu'(t).
>
> Ist das die leicht trennbare DGL, die du meinst?
> Habe multipliziert mit u, also erhalte
>
> [mm]u * u' * t + u^2 = 1 + 2u^2[/mm]
>
> Aber irgendwie vereinfacht sich dadurch die Sache nicht
> wirklich....
Doch.
[mm]u'(t) * t = \bruch{1}{u(t)} + u(t)[/mm]
riecht doch nach Trennung der Variablen.
FRED
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> > Danke! Hab mich für deine zweite Idee entschieden.
> > Komme nach Subsitution mit u(t)=x(t)/t auf
> >
> > [mm]u'(t) * t = \bruch{1}{u(t)} + 2u(t)[/mm]
>
> Ich komme auf
>
> [mm]u'(t) * t = \bruch{1}{u(t)} + u(t)[/mm].
>
> Wenn x=tu(t), so ist x'=u(t)+tu'(t).
natürlich!! Habe oben das +u(t) vergessen hinzuschreiben... unten nach multiplikation mit u ist es ja da 
> >
> > Ist das die leicht trennbare DGL, die du meinst?
> > Habe multipliziert mit u, also erhalte
> >
> > [mm]u * u' * t + u^2 = 1 + 2u^2[/mm]
> >
> > Aber irgendwie vereinfacht sich dadurch die Sache nicht
> > wirklich....
>
> Doch.
>
> [mm]u'(t) * t = \bruch{1}{u(t)} + u(t)[/mm]
>
> riecht doch nach Trennung der Variablen.
>
> FRED
>
habs noch nicht so mit trennung... bzw fällts mir einfach schwer. Der Gedanke ist doch die u(t) auf eine seite und das t auf die andere seite. aber wie lös ich das t von dem u'?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Do 14.11.2013 | | Autor: | fred97 |
$ u [mm] +\bruch{1}{u}=\bruch{1+u^2}{u}$
[/mm]
FRED
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Hallo kaykay_22,
> c) [mm]x'(t)=\bruch{t}{x}+\bruch{2x}{t}[/mm] für t [mm]\in [2,\infty),[/mm]
> x(2)=1
> d) [mm]x'(t)=-4tx(t)-e^{6t^2}(x(t))^4[/mm] für t [mm]\in [0,\infty),[/mm]
> x(0)=4
Dies ist eine ![[]](/images/popup.gif) Bernoulli-DGL
> hat hier jemand einen tipp mit was ich anfangen soll?
Gruss
MathePower
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Merci! ...schlecht wenn man das noch nie gehört hat
Nach Transformation von [mm] z(t)=y(t)^{-3} [/mm] erhalte ich
[mm] z'(t)=12tz(t)+3e^{6t^2} [/mm] und [mm] z(0)=y(0)^{-3}=4^{-3}=1/4^3.
[/mm]
Die homogene Lösung ist dann ohne den letzten Term
also
z'=12tz. Deren Lsg ist dann
[mm] ln|z|=6t^2+c [/mm] also [mm] z=e^{6t^2+c}
[/mm]
Stimmt das so? Und wies jetzt weitergeht ist mir noch nicht ganz schlüssig. Irgendwo stand was von Variation der Konstanten... Worum gehts da? Und wieso kann ich einfach so den letzten Term weglassen, den muss ich jetzt ja wieder irgendwie reinbringen oder?
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Hallo kaykay_22,
> Merci! ...schlecht wenn man das noch nie gehört hat
>
> Nach Transformation von [mm]z(t)=y(t)^{-3}[/mm] erhalte ich
> [mm]z'(t)=12tz(t)+3e^{6t^2}[/mm] und [mm]z(0)=y(0)^{-3}=4^{-3}=1/4^3.[/mm]
> Die homogene Lösung ist dann ohne den letzten Term
> also
> z'=12tz. Deren Lsg ist dann
> [mm]ln|z|=6t^2+c[/mm] also [mm]z=e^{6t^2+c}[/mm]
>
Die Lösung ist also [mm]z\left(t\right)=d*e^{5*t^{2}}[/mm]
> Stimmt das so? Und wies jetzt weitergeht ist mir noch nicht
> ganz schlüssig. Irgendwo stand was von Variation der
> Konstanten... Worum gehts da? Und wieso kann ich einfach so
> den letzten Term weglassen, den muss ich jetzt ja wieder
> irgendwie reinbringen oder?
Es geht jetzt darum die Konstante d von t abhängig zu machen,
und partikuläre Lösung der DGL
[mm]z'=12tz+3e^{6t^2}[/mm]
zu ermitteln.
Dazu machst Du den Ansatz
[mm]z_{p}\left(t\right)=d\left(t\right)*e^{6*t^{2}}[/mm]
Und setzt diesen in die DGL ein.
Gruss
MathePower
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