Anfangswertproblem und Probe < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Do 21.06.2007 | | Autor: | zoe |
| Aufgabe | Bestimmen sie die auf R definierte Lösung [mm] \varepsilon [/mm] des Anfangswertproblems
y´= y * (1 - [mm] \bruch{1}{10}y), [/mm] y(0) = 5 |
Hallo, wieder mein Lieblingsproblem 
Ich habe versuche die Lösung zu finden, habe auch eine, und nun stimmt die Probe nicht überein. Entweder ist dann wohl meine Lösung falsch oder ich mache Fehler bei der Probe. Ich habe den Fehler nun auch nach dreimaligen Durchrechnen nicht gefunden.
Mein Ansatz zur Lösung:
y´- y + [mm] \bruch{1}{10} y^2 [/mm] = 0
Meiner Ansicht nach wäre das mit Bernoulli zu lösen.
p(x) = -1 / q(x) = [mm] \bruch{1}{10} [/mm] / n = 2 / k = -1
Substitution: z = [mm] \bruch{1}{y}
[/mm]
z´+ (1-2) * (-1) * z + (1-2) * [mm] \bruch{1}{10} [/mm] = 0
z´+ z - [mm] \bruch{1}{10} [/mm] = 0
Hier hätte ich dann ein lineares DGL.
z´+ z = [mm] \bruch{1}{10}
[/mm]
mit g(x) = 1 / s(x) = [mm] \bruch{1}{10}
[/mm]
[mm] \integral{g(x) dx} [/mm] = [mm] \integral{1 dx} [/mm] = x
[mm] \integral{s(x) * e^{\integral{g(x) dx}} dx} [/mm] = [mm] \integral \bruch{1}{10} [/mm] * [mm] e^x [/mm] dx = [mm] \bruch{1}{10} [/mm] * [mm] e^x
[/mm]
z = [C + [mm] \bruch{1}{10} [/mm] * [mm] e^x] [/mm] * [mm] e^{-x} [/mm] = C * [mm] e^{-x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{10}
[/mm]
Resubstitution: y = [mm] \bruch{1}{z}
[/mm]
y = [mm] \bruch{e^x}{C} [/mm] + 10
y(0) = 5 = [mm] \bruch{1}{C} [/mm] + 5
C = - [mm] \bruch{1}{5}
[/mm]
y = [mm] -5e^x [/mm] + 10
Stimmt das bis hierhin?
Vielen lieben Dank im voraus,
Andrea
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:53 Do 21.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab nicht alles genau durchgegangen, aber wenigstens einen entscheidenden Fehler gefunden
> Bestimmen sie die auf R definierte Lösung [mm]\varepsilon[/mm] des
> Anfangswertproblems
>
> y´= y * (1 - [mm]\bruch{1}{10}y),[/mm] y(0) = 5
> Hallo, wieder mein Lieblingsproblem
>
> Ich habe versuche die Lösung zu finden, habe auch eine, und
> nun stimmt die Probe nicht überein. Entweder ist dann wohl
> meine Lösung falsch oder ich mache Fehler bei der Probe.
> Ich habe den Fehler nun auch nach dreimaligen Durchrechnen
> nicht gefunden.
>
> Mein Ansatz zur Lösung:
>
> y´- y + [mm]\bruch{1}{10} y^2[/mm] = 0
>
> Meiner Ansicht nach wäre das mit Bernoulli zu lösen.
>
> p(x) = -1 / q(x) = [mm]\bruch{1}{10}[/mm] / n = 2 / k = -1
>
> Substitution: z = [mm]\bruch{1}{y}[/mm]
>
> z´+ (1-2) * (-1) * z + (1-2) * [mm]\bruch{1}{10}[/mm] = 0
>
> z´+ z - [mm]\bruch{1}{10}[/mm] = 0
>
> Hier hätte ich dann ein lineares DGL.
>
> z´+ z = [mm]\bruch{1}{10}[/mm]
>
> mit g(x) = 1 / s(x) = [mm]\bruch{1}{10}[/mm]
>
> [mm]\integral{g(x) dx}[/mm] = [mm]\integral{1 dx}[/mm] = x
>
> [mm]\integral{s(x) * e^{\integral{g(x) dx}} dx}[/mm] = [mm]\integral \bruch{1}{10}[/mm]
> * [mm]e^x[/mm] dx = [mm]\bruch{1}{10}[/mm] * [mm]e^x[/mm]
>
> z = [C + [mm]\bruch{1}{10}[/mm] * [mm]e^x][/mm] * [mm]e^{-x}[/mm] = C * [mm]e^{-x}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{10}[/mm]
>
> Resubstitution: y = [mm]\bruch{1}{z}[/mm]
>
> y = [mm]\bruch{e^x}{C}[/mm] + 10
Hier liegt der Feher [mm] :1/(a+b)\ne [/mm] 1/a+1/b
ich hoff das war der einzige Fehler.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:31 Fr 22.06.2007 | | Autor: | zoe |
Danke leduart - der "blöde" Fehler war es. Peinlich ist das ja schon - Mathe 6. Klasse.
Die Lösung ist nun y = [mm] \bruch{10}{e^{-1} + 1} [/mm] und da dann auch meine Probe stimmt, denke ich, dass das die richtige Lösung ist.
Das war übrigens eine Aufgabe vom Staatsexamen in Bayern, Mathe nicht vertieft, Herbst 2006 / Thema 1 / Aufgabe 5.
Vielen lieben Dank,
Andrea
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Sa 23.06.2007 | | Autor: | zoe |
| Aufgabe | a) Wie lautet die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
y´= 4xy
b) Geben sie die maximale Lösung der Anfangswertaufgabe
y´= 4xy + (1 - x) * [mm] e^{4x}
[/mm]
y(1) = 0
an. |
Hallo,
den Teil a) habe ich bearbeitet und bekomme die Lösung
y = [mm] e^{2x^2} [/mm] * [mm] e^C [/mm] heraus.
Da meine Probe paßt, gehe ich davon aus, dass das Ergebnis so richtig ist.
Mein Problem liegt jetzt beim Teil b). Irgendwo denke ich, dass die Aufgabe b) mit a) zusammenhängt, aber ich komme nicht darauf, wie ich das "verwerten" könnte. Wenn ich das auf "normalen" Weg als lineare DGL löse, dann habe ich furchtbare Terme zu integrieren.
Hängt das irgendwie zusammen und wie kann ich das dann angehen?
Staatsexamen Bayern Mathe nicht vertieft, Frühjahr 2001 / Thema 2.
Vielen lieben Dank im voraus und besonders liebe Grüße an meinen Helfer leduart von Andrea
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Sa 23.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo zoe
du hast mit a) den homogenen Teil der Dgl von b) gelöst.
jetzt suchst du noch ne partikuläre Lösung der inhomogenen.
ein Versuch ist immer "ungefähr" so was wie den inhomogenen Teil zu nehmen.
Also Entweder mal einfach versuchen [mm] y=A*e^{4x} [/mm] und A bestimmen. (das klappt!) sonst [mm] Bxe^{4x}+Ae^{4x} [/mm] da kommt dasselbe raus, geht nur mit B=0
Die allgemeine Lösung war die Lösung der homogenen zu variieren, also [mm] y=c(x)*e^{2x^2}, [/mm] nach produktregel ableiten , in die Dgl einsetzen, ergibt ne einfachere Dgl für c(x)
Gruss leduart
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