Anfangswertproblem Laplace Tra < Laplace-Transformation < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Mi 01.12.2010 | | Autor: | M-Ti |
Hey Ihr Lieben,
ich habe mich gerade wieder an 2 Aufgaben probiert. Ich brauch teilweise Hilfe bzw. Jemanden der mal drüberschaut ob das so richtig ist:
1)
y'+y=1 y(0)=2
[mm] s*F(s)-2+F(s)=\bruch{1}{s}
[/mm]
<->
[mm] F(s)[s+1]=\bruch{1}{s}+2=\bruch{1+2s}{s}
[/mm]
<->
[mm] F(s)=\bruch{1+2s}{s(s+1)}
[/mm]
Ansatz zur PBZ:
[mm] F(s)=\bruch{A}{s}+\bruch{B}{s+1}
[/mm]
[mm] A=\bruch{1+2s}{s+1} [/mm] mit s=0 --> A=1
[mm] \bruch{1+2s-(s+1)}{s(s+1)}=\bruch{1}{s+1}=\bruch{B}{s+1}
[/mm]
--> B=1
2)
y''+2y=sin(t) mit y(0)=1 und y'(0)=1
-->
[mm] s^2*F(s)-s+1+2*Fs)=\bruch{1}{s^2+1}
[/mm]
<->
[mm] F(s)=\bruch{1}{(s^2+1)(s^2+2)}+\bruch{s-1}{s^2+2}
[/mm]
Ist der Ansatz für die PBZ so richtig?:
[mm] F(s)=\bruch{As+B}{s^2+1}+\bruch{Cs+D}{s^2+2}+\bruch{Es+F}{s^2+2}
[/mm]
--> E=1 und F=-1
Wie kriege ich jetzt am einfachsten A,B,C und D raus?
Ich hab es so gemacht:
[mm] 1=(As+B)(s^2+2)+(Cs+D)(s^2+1)
[/mm]
[mm] =As^3+2As+Bs^2+2B+Cs^3+Cs+Ds^2+D
[/mm]
[mm] =s^3[A+C]+s^2[B+D]+s[2A+C]+[2B+D]
[/mm]
Koeffizientenvergleich:
1=[2B+D] (1)
[A+C]=0 <-> C=-A
[2A+C]=0 <->A=0
[B+D]=0 <-> D=-B in (1)
1=2B-B=B --> B=1 und D=-1
Joa, ist das denn so richtig und gibt es einen schnelleren Weg um A,B,C und D zu berechnen?
Vielen Dank.
Gruß
M-Ti
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Hallo M-Ti,
> Hey Ihr Lieben,
>
> ich habe mich gerade wieder an 2 Aufgaben probiert. Ich
> brauch teilweise Hilfe bzw. Jemanden der mal drüberschaut
> ob das so richtig ist:
>
> 1)
> y'+y=1 y(0)=2
>
> [mm]s*F(s)-2+F(s)=\bruch{1}{s}[/mm]
> <->
> [mm]F(s)[s+1]=\bruch{1}{s}+2=\bruch{1+2s}{s}[/mm]
> <->
> [mm]F(s)=\bruch{1+2s}{s(s+1)}[/mm]
Lass das mal lieber so stehen:
[mm]F(s)=\bruch{1}{s*\left(s+1\right)}+\bruch{2}{s+1}[/mm]
>
> Ansatz zur PBZ:
> [mm]F(s)=\bruch{A}{s}+\bruch{B}{s+1}[/mm]
>
> [mm]A=\bruch{1+2s}{s+1}[/mm] mit s=0 --> A=1
>
> [mm]\bruch{1+2s-(s+1)}{s(s+1)}=\bruch{1}{s+1}=\bruch{B}{s+1}[/mm]
>
> --> B=1
>
>
> 2)
>
> y''+2y=sin(t) mit y(0)=1 und y'(0)=1
> -->
> [mm]s^2*F(s)-s+1+2*Fs)=\bruch{1}{s^2+1}[/mm]
Hier muss doch stehen:
[mm]s^2*F(s)-s\red {-}1+2*Fs)=\bruch{1}{s^2+1}[/mm]
> <->
> [mm]F(s)=\bruch{1}{(s^2+1)(s^2+2)}+\bruch{s-1}{s^2+2}[/mm]
>
> Ist der Ansatz für die PBZ so richtig?:
>
> [mm]F(s)=\bruch{As+B}{s^2+1}+\bruch{Cs+D}{s^2+2}+\bruch{Es+F}{s^2+2}[/mm]
Der Ansatz lautet hier doch so:
[mm]F(s)=\bruch{As+B}{s^2+1}+\bruch{Cs+D}{s^2+2}[/mm]
>
> --> E=1 und F=-1
>
> Wie kriege ich jetzt am einfachsten A,B,C und D raus?
> Ich hab es so gemacht:
>
> [mm]1=(As+B)(s^2+2)+(Cs+D)(s^2+1)[/mm]
> [mm]=As^3+2As+Bs^2+2B+Cs^3+Cs+Ds^2+D[/mm]
> [mm]=s^3[A+C]+s^2[B+D]+s[2A+C]+[2B+D][/mm]
>
> Koeffizientenvergleich:
> 1=[2B+D] (1)
> [A+C]=0 <-> C=-A
> [2A+C]=0 <->A=0
> [B+D]=0 <-> D=-B in (1)
>
> 1=2B-B=B --> B=1 und D=-1
>
> Joa, ist das denn so richtig und gibt es einen schnelleren
> Weg um A,B,C und D zu berechnen?
>
> Vielen Dank.
> Gruß
> M-Ti
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Mi 01.12.2010 | | Autor: | M-Ti |
Lass das mal lieber so stehen:
$ [mm] F(s)=\bruch{1}{s\cdot{}\left(s+1\right)}+\bruch{2}{s+1} [/mm] $
Wenn ich das jetzt so stehen lasse, dann wäre es:
[mm] \bruch{1}{s(s+1)}+\bruch{2}{s+1}=\bruch{A}{s}+\bruch{B}{s+1}+\bruch{C}{s+1}, [/mm] wobei ich entweder das [mm] \bruch{B}{s+1} [/mm] oder das [mm] \bruch{C}{s+1} [/mm] weg streichen kann laut deinem Post zu der anderen Aufgabe.
dann gilt:
[mm] \bruch{1}{s(s+1)} -\bruch{1}{s} [/mm] (weil A=1)
[mm] =\bruch{-s}{s(s+1)}=\bruch{-1}{s+1} [/mm] und somit wäre B bzw. C =-1? Also war meine Rechnung, die ich Anfangs gepostet habe falsch? Da hatte ich B=1
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Hallo M-Ti,
> Lass das mal lieber so stehen:
>
> [mm]F(s)=\bruch{1}{s\cdot{}\left(s+1\right)}+\bruch{2}{s+1}[/mm]
>
> Wenn ich das jetzt so stehen lasse, dann wäre es:
>
> [mm]\bruch{1}{s(s+1)}+\bruch{2}{s+1}=\bruch{A}{s}+\bruch{B}{s+1}+\bruch{C}{s+1},[/mm]
> wobei ich entweder das [mm]\bruch{B}{s+1}[/mm] oder das
> [mm]\bruch{C}{s+1}[/mm] weg streichen kann laut deinem Post zu der
> anderen Aufgabe.
>
> dann gilt:
> [mm]\bruch{1}{s(s+1)} -\bruch{1}{s}[/mm] (weil A=1)
> [mm]=\bruch{-s}{s(s+1)}=\bruch{-1}{s+1}[/mm] und somit wäre B bzw.
> C =-1? Also war meine Rechnung, die ich Anfangs gepostet
> habe falsch? Da hatte ich B=1
Hier hast Du den Bruch [mm]\bruch{2}{s+1}[/mm] vergessen zu addieren:
[mm]\bruch{1}{s(s+1)} -\bruch{1}{s}+\bruch{2}{s+1}=\bruch{-1}{s+1}+\bruch{2}{s+1}=\bruch{1}{s+1}[/mm]
Somit ist B=1.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 Mi 01.12.2010 | | Autor: | M-Ti |
Ahhh, ja klar. Hab wohl heute schon zu lange gemacht, dass ich den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr sehe.
Kannst du bitte noch die Frage zur 2. Aufgabe beantworten, dann mache ich für heute auch Schluss..
Vielen Dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Mi 01.12.2010 | | Autor: | M-Ti |
zur 2. Aufgabe:
OK, das hatte ich gepostet, bevor ich deine Antwort zu dem anderen Thread gelesen habe.
Du schreibst:
Der Ansatz lautet hier doch so:
$ [mm] F(s)=\bruch{As+B}{s^2+1}+\bruch{Cs+D}{s^2+2} [/mm] $
Also ist A=0, B=1, C=1 und D=-1?
Besten Dank!
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Hallo M-Ti,
> zur 2. Aufgabe:
>
> OK, das hatte ich gepostet, bevor ich deine Antwort zu dem
> anderen Thread gelesen habe.
>
> Du schreibst:
>
>
> Der Ansatz lautet hier doch so:
>
> [mm]F(s)=\bruch{As+B}{s^2+1}+\bruch{Cs+D}{s^2+2}[/mm]
>
> Also ist A=0, B=1, C=1 und D=-1?
A und B stimmen, C und D nicht.
>
> Besten Dank!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Mi 01.12.2010 | | Autor: | M-Ti |
:-(
Also ich habe jetzt:
[mm] F(s)=\bruch{1}{(s^2+1)(s^2+2)}+\bruch{s+1}{s^2+2}=\bruch{As+B}{s^2+1}+\bruch{Cs+D}{s^2+2}
[/mm]
aber weiss nicht wie ich da rangehen soll um das zu lösen...
Kannst du mir bitte nochmal helfen?
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Hallo M-Ti,
> :-(
>
> Also ich habe jetzt:
>
> [mm]F(s)=\bruch{1}{(s^2+1)(s^2+2)}+\bruch{s+1}{s^2+2}=\bruch{As+B}{s^2+1}+\bruch{Cs+D}{s^2+2}[/mm]
>
> aber weiss nicht wie ich da rangehen soll um das zu
> lösen...
>
> Kannst du mir bitte nochmal helfen?
Zerlege
[mm]\bruch{1}{(s^2+1)(s^2+2)}[/mm]
in Partialbrüche
[mm]\bruch{\alpha s+\beta}{s^2+1}+\bruch{\gamma*s+\delta}{s^2+2}[/mm]
Dann steht da:
[mm]\bruch{\alpha s+\beta}{s^2+1}+\bruch{\gamma*s+\delta}{s^2+2}+\bruch{s+1}{s^2+2}=\bruch{As+B}{s^2+1}+\bruch{Cs+D}{s^2+2}[/mm]
Koeffizientenvergleich ergibt
[mm]A=\alpha, \ B=\beta, \ C=\gamma+1, \ D=\delta+1[/mm]
Gruss
MathePower
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