Anfangswertproblem DGS < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:53 Di 26.01.2010 | | Autor: | tynia |
hallo. ich habe eine frage zu obigem Thema. Vielleicht weiß jja einer von euch was:
Das Anfangswertproblem u'=Au, [mm] u(t_{0}) [/mm] = [mm] u_{0} [/mm] ist stets eindeutig lösbar!
Beweis:
Existenz: u(t):= [mm] e^{(t-t_{0})A}u_{0}, [/mm] da [mm] e^{0}=I [/mm] verstehe ich nicht
Eindeutigkeit:
Es sei: v'=Av eine beliebige Lösung.
Wir betrachten: [mm] \bruch{d}{dt}(e^{-At}v) [/mm] wie kommt man darauf?
[mm] =-Ae^{-At}v+e^{-At}v'=-Ae^{-At}v+e^{-At}Av=0 [/mm]
Damit folgt: [mm] v=e^{At}const
[/mm]
man setzt die Anfangsbedingung ein und bestimmt den konstanten Teil:
[mm] v(t_{0})=u_{0}=e^{At_{0}}const \Rightarrow [/mm] const= [mm] e^{-At_{0}}u_{0} [/mm] und erhält: v(t):= [mm] e^{(t-t_{0})A}u_{0}=u(t)
[/mm]
ich verstehe diesen beweis irgendwie nicht. bin über jede Hilfe dankbar.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:26 Mi 27.01.2010 | | Autor: | Harris |
Die Existenz besagt, dass du mit [mm] e^{t-t_0)\cdot A}u_0 [/mm] eine Lösung der Differentialgleichung gefunden hast, denn leitest du sie ab, kommt
[mm] A\cdot e^{t-t_0)\cdot A}u_0 [/mm] heraus.
Und das Anfangswertproblem besagt nur, dass für den Wert t = [mm] t_0 [/mm] der Wert [mm] u_0 [/mm] herauskommen soll. Setzt du nun [mm] t_0 [/mm] in die Lösung der DGL ein, so bekommst du [mm] e^{t_0-t_0)\cdot A}u_0=e^{0\cdot A}u_0=I u_0 [/mm] = [mm] u_0 [/mm] heraus.
Zur Eindeutigkeit:
Man multipliziert die (vermeindlich) verschiedene Lösung mit dem Inversen der gefundenen Lösung. Um nun zu zeigen, dass dies konstant ist, leitet man es ab und zeigt hiermit, dass die Ableitung 0 ist.
Eine andere Vorgehensweise geht schlecht, weil das einzige, was man über diese (vermeindlich) verschiedene Lösung weiß, die Ableitung ist...
Das ist eine gängige Beweisführung. Klar kommt man mal eben nicht so drauf, aber jetzt wo man's gesehen hat, denkt man vielleicht hin und wieder mal dran.
Grüßle!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:26 Mi 27.01.2010 | | Autor: | tynia |
danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Mi 27.01.2010 | | Autor: | tynia |
Ich habe doch noch eine Frage:
> Die Existenz besagt, dass du mit [mm]e^{t-t_0)\cdot A}u_0[/mm] eine
> Lösung der Differentialgleichung gefunden hast, denn
> leitest du sie ab, kommt
>
> [mm]A\cdot e^{t-t_0)\cdot A}u_0[/mm] heraus.
> Und das Anfangswertproblem besagt nur, dass für den Wert
> t = [mm]t_0[/mm] der Wert [mm]u_0[/mm] herauskommen soll. Setzt du nun [mm]t_0[/mm] in
> die Lösung der DGL ein, so bekommst du [mm]e^{t_0-t_0)\cdot A}u_0=e^{0\cdot A}u_0=I u_0[/mm]
> = [mm]u_0[/mm] heraus.
Wenn ich [mm] t_{0} [/mm] einsetzte wo bleibt dann mein A bei [mm] A\cdot e^{t-t_0)\cdot A}u_0 [/mm]
> Zur Eindeutigkeit:
> Man multipliziert die (vermeindlich) verschiedene Lösung
> mit dem Inversen der gefundenen Lösung. Um nun zu zeigen,
> dass dies konstant ist, leitet man es ab und zeigt hiermit,
> dass die Ableitung 0 ist.
> Eine andere Vorgehensweise geht schlecht, weil das
> einzige, was man über diese (vermeindlich) verschiedene
> Lösung weiß, die Ableitung ist...
>
> Das ist eine gängige Beweisführung. Klar kommt man mal
> eben nicht so drauf, aber jetzt wo man's gesehen hat, denkt
> man vielleicht hin und wieder mal dran.
>
> Grüßle!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Mi 27.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe doch noch eine Frage:
>
> > Die Existenz besagt, dass du mit [mm]e^{t-t_0)\cdot A}u_0[/mm] eine
> > Lösung der Differentialgleichung gefunden hast, denn
> > leitest du sie ab, kommt
> >
> > [mm]A\cdot e^{t-t_0)\cdot A}u_0[/mm] heraus.
> > Und das Anfangswertproblem besagt nur, dass für den
> Wert
> > t = [mm]t_0[/mm] der Wert [mm]u_0[/mm] herauskommen soll. Setzt du nun [mm]t_0[/mm] in
> > die Lösung der DGL ein, so bekommst du [mm]e^{t_0-t_0)\cdot A}u_0=e^{0\cdot A}u_0=I u_0[/mm]
> > = [mm]u_0[/mm] heraus.
>
> Wenn ich [mm]t_{0}[/mm] einsetzte wo bleibt dann mein A bei [mm]A\cdot e^{t-t_0)\cdot A}u_0[/mm]
Für t = [mm] t_0 [/mm] ist
[mm]A\cdot e^{(t-t_0)\cdot A}u_0= A\cdot e^{0}u_0= A*I*u_0= A*u_0[/mm]
FRED
>
> > Zur Eindeutigkeit:
> > Man multipliziert die (vermeindlich) verschiedene
> Lösung
> > mit dem Inversen der gefundenen Lösung. Um nun zu zeigen,
> > dass dies konstant ist, leitet man es ab und zeigt hiermit,
> > dass die Ableitung 0 ist.
> > Eine andere Vorgehensweise geht schlecht, weil das
> > einzige, was man über diese (vermeindlich) verschiedene
> > Lösung weiß, die Ableitung ist...
> >
> > Das ist eine gängige Beweisführung. Klar kommt man mal
> > eben nicht so drauf, aber jetzt wo man's gesehen hat, denkt
> > man vielleicht hin und wieder mal dran.
> >
> > Grüßle!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 Mi 27.01.2010 | | Autor: | tynia |
ich habs gerade auch schon bemerkt. Habe ich einfach verlesen. Danke trotzdem
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Mi 03.02.2010 | | Autor: | tynia |
> Die Existenz besagt, dass du mit [mm]e^{t-t_0)\cdot A}u_0[/mm] eine
> Lösung der Differentialgleichung gefunden hast, denn
> leitest du sie ab, kommt
>
> [mm]A\cdot e^{t-t_0)\cdot A}u_0[/mm] heraus.
> Und das Anfangswertproblem besagt nur, dass für den Wert
> t = [mm]t_0[/mm] der Wert [mm]u_0[/mm] herauskommen soll. Setzt du nun [mm]t_0[/mm] in
> die Lösung der DGL ein, so bekommst du [mm]e^{t_0-t_0)\cdot A}u_0=e^{0\cdot A}u_0=I u_0[/mm]
> = [mm]u_0[/mm] heraus.
>
> Zur Eindeutigkeit:
> Man multipliziert die (vermeindlich) verschiedene Lösung
> mit dem Inversen der gefundenen Lösung.
[mm] e^{-tA}v [/mm] ist die Inverse von was???
Um nun zu zeigen,
> dass dies konstant ist, leitet man es ab und zeigt hiermit,
> dass die Ableitung 0 ist.
> Eine andere Vorgehensweise geht schlecht, weil das
> einzige, was man über diese (vermeindlich) verschiedene
> Lösung weiß, die Ableitung ist...
>
> Das ist eine gängige Beweisführung. Klar kommt man mal
> eben nicht so drauf, aber jetzt wo man's gesehen hat, denkt
> man vielleicht hin und wieder mal dran.
>
> Grüßle!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Mi 03.02.2010 | | Autor: | tynia |
Und noch eine Frage ist die allgemeine lösung des homogenen DGS u= [mm] e^{At}v [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Mi 03.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein , die Allgemeine Lösung ist [mm] u(t)=C*e^{At}
[/mm]
C ne beliebige Konstante, die erst durch den AW festgelegt wird .
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Mi 03.02.2010 | | Autor: | tynia |
Ich dachte die Lösung wäre [mm] Ce^{t-t_{0}A}
[/mm]
Irgendwie verstehe ich das doch nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:30 Do 04.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] u=C_1*e^{(t-t_0)*A}=C1*e^{-t_0*A}*e^{t*A}
[/mm]
so jetzt nenn [mm] C1*e^{-t_0*A}=C [/mm] und die beiden Darstellungen stimmen überein, da ja C jeden Wert annehmen kann.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Mi 03.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du willst zeigen, dass es nur die fkt u mit dem Anfangswert gibt.
du weisst [mm] u(t_0)=v(t_0) [/mm] und [mm] u\ne0
[/mm]
deshalb kommst du auf
[mm] \bruch{v(t_0)}{u(t_0)}=1 [/mm] jetzt siehst du dir die Änderung davon an
also [mm] (\bruch{v(t)}{u(t)})'=(\bruch{v(t)}{e^{A±}})'=(v(t)*e^{-At})' [/mm] und stellst fest; das ist 0 wenn man für v'=A*t einsetzt.
eine Funktion g(t)v/u die an einem Punkt gleich 1 ist und deren Steigung überall 0 ist ist aber konstant =1. also folgt v(t)=u(t)
jetzt alles klar?
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:02 Mi 03.02.2010 | | Autor: | tynia |
> Hallo
> du willst zeigen, dass es nur die fkt u mit dem
> Anfangswert gibt.
> du weisst [mm]u(t_0)=v(t_0)[/mm] und [mm]u\ne0[/mm]
tut mir leid dass ich so blöd frage, aber woher weiß ich, dass [mm] u(t_0)=v(t_0)
[/mm]
deshalb kommst du auf
> [mm]\bruch{v(t_0)}{u(t_0)}=1[/mm] jetzt siehst du dir die Änderung
> davon an
> also
> [mm](\bruch{v(t)}{u(t)})'=(\bruch{v(t)}{e^{A±}})'=(v(t)*e^{-At})'[/mm]
> und stellst fest; das ist 0 wenn man für v'=A*t einsetzt.
> eine Funktion g(t)v/u die an einem Punkt gleich 1 ist und
> deren Steigung überall 0 ist ist aber konstant =1. also
> folgt v(t)=u(t)
> jetzt alles klar?
> Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Mi 03.02.2010 | | Autor: | tynia |
Hat sich erledigt, habe es verstanden. danke nochnmal
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