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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Mo 28.01.2013 | | Autor: | mwieland |
| Aufgabe | Lösen sie folgendes AWP:
[mm] y'=3x+1+\bruch{y}{x+1}; [/mm] y(0)=1 |
Hallo!
Ich habe em Freitag Mathe-Klausur und habe einige Aufgaben ohne LÖsungen, und bei solchen Aufgaben wäre es interessant ob ich denn richtig gerechnet habe, wäre cool wenn jemand von euch mal einen Blick drauf werfen könnte und mich auf etwaige Fehler hinweisen würde ;)
also hier handelt es sich mal um eine lineare DGl 1. ordnung, weil es ja die Form
[mm] y'=a_{1}(x)*y+a_{0}(x)
[/mm]
hat.
dann ist die homogene lösung also
[mm] y_{hom}=C*e^{\integral_{}^{}{a_{1}(x) dx}}=C*e^{\integral_{}^{}{\bruch{1}{x+1} dx}}=C*(x+1)
[/mm]
die partikuläre lösung müsste dann sein
[mm] y_{sp}=(x+1)*\integral_{}^{}{(3x+1)*\bruch{1}{x+1}dx}
[/mm]
wenn ich das integral nun aufteile und löse komme ich auf
[mm] y_{sp}=(x*1)*3(x+ln|x+1|)+ln|x+1|+C
[/mm]
und das ergibt
[mm] y_{sp}=3x^{2}+3x+4ln|x+1|+C
[/mm]
daraus folgt
[mm] y_{allg}= C*(x+1)+3x^{2}+3x+4ln|x+1|
[/mm]
nun zum AWP:
y(0)=C*(0+1)+0+0+0=C=1
und daher ist meine lösung des AWP
[mm] y_{allg}=(x+1)+3x^{2}+3x+4ln|x+1|
[/mm]
ich bitte euch um durchsicht meines rechenweges und um etwaige korrektur!
vielen vielen dank und freundliche grüße,
markus
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Hallo mwieland,
> Lösen sie folgendes AWP:
>
> [mm]y'=3x+1+\bruch{y}{x+1};[/mm] y(0)=1
> Hallo!
>
> Ich habe em Freitag Mathe-Klausur und habe einige Aufgaben
> ohne LÖsungen, und bei solchen Aufgaben wäre es
> interessant ob ich denn richtig gerechnet habe, wäre cool
> wenn jemand von euch mal einen Blick drauf werfen könnte
> und mich auf etwaige Fehler hinweisen würde ;)
>
> also hier handelt es sich mal um eine lineare DGl 1.
> ordnung, weil es ja die Form
>
> [mm]y'=a_{1}(x)*y+a_{0}(x)[/mm]
>
> hat.
>
> dann ist die homogene lösung also
>
> [mm]y_{hom}=C*e^{\integral_{}^{}{a_{1}(x) dx}}=C*e^{\integral_{}^{}{\bruch{1}{x+1} dx}}=C*(x+1)[/mm]
>
> die partikuläre lösung müsste dann sein
>
> [mm]y_{sp}=(x+1)*\integral_{}^{}{(3x+1)*\bruch{1}{x+1}dx}[/mm]
>
> wenn ich das integral nun aufteile und löse komme ich auf
>
> [mm]y_{sp}=(x*1)*3(x+ln|x+1|)+ln|x+1|+C[/mm]
>
Das musst Du nochmal nachrechnen.
> und das ergibt
>
> [mm]y_{sp}=3x^{2}+3x+4ln|x+1|+C[/mm]
>
> daraus folgt
>
> [mm]y_{allg}= C*(x+1)+3x^{2}+3x+4ln|x+1|[/mm]
>
> nun zum AWP:
>
> y(0)=C*(0+1)+0+0+0=C=1
>
> und daher ist meine lösung des AWP
>
> [mm]y_{allg}=(x+1)+3x^{2}+3x+4ln|x+1|[/mm]
>
> ich bitte euch um durchsicht meines rechenweges und um
> etwaige korrektur!
>
> vielen vielen dank und freundliche grüße,
> markus
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Mo 28.01.2013 | | Autor: | mwieland |
> > die partikuläre lösung müsste dann sein
> >
> > [mm]y_{sp}=(x+1)*\integral_{}^{}{(3x+1)*\bruch{1}{x+1}dx}[/mm]
> >
> > wenn ich das integral nun aufteile und löse komme ich auf
> >
> > [mm]y_{sp}=(x*1)*3(x+ln|x+1|)+ln|x+1|+C[/mm]
> >
>
>
> Das musst Du nochmal nachrechnen.
ich denke es war ein vorzeichenfehler,
meine partikuläre lösung sollte sein
[mm] y_{sp}=(x+1)*(3x-2*ln|x+1|) [/mm] oder?
und für die allgemeine lösung
[mm] y_{allg}=(x+1)*(C+3x-2*ln|x+1|)
[/mm]
für C sollte beim AWP aber dann das gleiche rauskommen, oder?
lg mark
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Hallo mwieland,
> > > die partikuläre lösung müsste dann sein
> > >
> > > [mm]y_{sp}=(x+1)*\integral_{}^{}{(3x+1)*\bruch{1}{x+1}dx}[/mm]
> > >
> > > wenn ich das integral nun aufteile und löse komme ich auf
> > >
> > > [mm]y_{sp}=(x*1)*3(x+ln|x+1|)+ln|x+1|+C[/mm]
> > >
> >
> >
> > Das musst Du nochmal nachrechnen.
>
> ich denke es war ein vorzeichenfehler,
>
> meine partikuläre lösung sollte sein
>
> [mm]y_{sp}=(x+1)*(3x-2*ln|x+1|)[/mm] oder?
>
Ja.
> und für die allgemeine lösung
>
> [mm]y_{allg}=(x+1)*(C+3x-2*ln|x+1|)[/mm]
>
> für C sollte beim AWP aber dann das gleiche rauskommen,
> oder?
>
Das kommt auch heraus.
> lg mark
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Mo 28.01.2013 | | Autor: | mwieland |
vielen dank für deine hilfe!
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