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| Aufgabe | Y```-5Y``+3Y- sin²(x)
xo=2, h=0,05, Y(xo)=1, Y`(xo)=2, Y"(xo)=4 |
Hallo, ich soll zu dieser Aufgabenstellung die Nährungswerte für Y"(x1), Y'(x1) und Y(x1) mit dem Eulerverfahren berechnen.
Mein Ansatz:
x1=xo+h, u1= y(xo)=1, u2=y'(xo)=2
u1(x1)= u1(xo)+ h*u2(xo)
Meine Frage ist nun: Wie bekomme ich die Anderen beiden Nährungswerte?
Danke für die Hilfe:)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Mascha1988,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Y'''-5Y''+3Y- sin²(x)
> xo=2, h=0,05, Y(xo)=1, Y'(xo)=2, Y"(xo)=4
> Hallo, ich soll zu dieser Aufgabenstellung die
> Nährungswerte für Y"(x1), Y'(x1) und Y(x1) mit dem
> Eulerverfahren berechnen.
>
> Mein Ansatz:
> x1=xo+h, u1= y(xo)=1, u2=y'(xo)=2
>
> u1(x1)= u1(xo)+ h*u2(xo)
>
> Meine Frage ist nun: Wie bekomme ich die Anderen beiden
> Nährungswerte?
Wandle dazu die gegebene DGL 3. Ordnung
in ein System von DGLn 1. Ordnung.
> Danke für die Hilfe:)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | Y```-5Y``+3Y-sin²(x)
mit Y(xo)=1, Y`(xo)=2, Y``(xo)=4
xo=2, h=0.05 |
Ich weiss nicht wie man darraus eine DGL 1. Ordnung machen soll.
Habe volgenden Ansatz:
u1 (x1)= u1(xo)+h * u2(xo)
= 1 + 0.05 * 4= 1.2
Y```=5Y``+3Y+sin²(x)
Ich weiss nicht wie ich u2 und u3 bestimmen soll, wenn Y``` nicht gegeben ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 Do 24.05.2012 | | Autor: | Denny22 |
Setze $z:=y'$ und $w=z'=y''$, dann hast du die 3 Gleichungen
[mm] $w'=y'''=5y''-3y-\sin^2(x)=5w-3y-\sin^2(x)$
[/mm]
$z'=y''=w$
$y'=z$
also
[mm] $w'=5w-3y-\sin^2(x)$
[/mm]
$z'=w$
$y'=z$
Jetzt treten nur noch erste Ableitungen auf. Deine Lösung ist nun ein Vektor $(w,z,y)$.
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Und wie bekomme ich aus dem Vektor die Nährungswerte??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:05 Fr 25.05.2012 | | Autor: | Denny22 |
> Und wie bekomme ich aus dem Vektor die Nährungswerte??
Also ich wiederhole:
Setze $z(x):=y'(x)$ und $w(x)=z'(x)=y''(x)$, dann hast du die 3 Gleichungen
$ [mm] w'(x)=y'''(x)=5y''(x)-3y(x)-\sin^2(x)=5w(x)-3y(x)-\sin^2(x) [/mm] $
$ z'(x)=y''(x)=w(x) $
$ y'(x)=z(x) $
also
$ [mm] w'(x)=5w(x)-3y(x)-\sin^2(x) [/mm] $
$ z'(x)=w(x) $
$ y'(x)=z(x) $
Jetzt treten nur noch erste Ableitungen auf. Deine Lösung ist nun ein Vektor $ (w,z,y) $. Zum Loesen dieser Gleichung benoetigst Du jedoch noch Anfangsdaten [mm] $y(x_0),z(x_0),w(x_0)$. [/mm] Diese stehen in der Aufgabe, denn gegeben ist
$h=0.05$, [mm] $x_0=2$, $x_1=x_0+h$, [/mm]
[mm] $y(x_0)=y(2)=1$, $y'(x_0)=y'(2)=2$, $y''(x_0)=y''(2)=4$
[/mm]
wobei $h$ die zeitliche Schrittweite des (expliziten/impliziten) Eulerverfahrens, [mm] $x_0$ [/mm] dein Startzeitpunkt, [mm] $x_1$ [/mm] dein ersten Zeitpunkt, [mm] $y(x_0),y'(x_0),y''(x_0)$ [/mm] deine Anfangsdaten bezeichnen. Druecken wir dies nun in $y,z,w$ aus bedeutet dies
[mm] $y(x_0)=y(2)=1$
[/mm]
[mm] $z(x_0)=y'(x_0)=y'(2)=2$
[/mm]
[mm] $w(x_0)=z'(x_0)=y''(x_0)=y''(2)=4$
[/mm]
Das heisst Du hast insgesamt das Anfangswertproblem
$ [mm] w'(x)=5w(x)-3y(x)-\sin^2(x) [/mm] $ mit $w(2)=4$
$ z'(x)=w(x) $ mit $z(2)=2$
$ y'(x)=z(x) $ mit $y(2)=1$
oder in Matrix-Vektornotation
[mm] $\vektor{w \\ z \\ y}'(x)=\pmat{ 5 & 0 & -3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0}\vektor{w \\ z \\ y}(x)+\vektor{-\sin^2(x) \\ 0 \\ 0}$ [/mm] mit [mm] $\vektor{w \\ z \\ y}(2)=\vektor{4 \\ 2 \\ 1}$.
[/mm]
Nun hast Du ein Anfangswertproblem erster Ordnung. Als naechstes musst Du einen Zeitschritt mit dem (expliziten/impliziten) Eulerverfahren durchfuehren, wobei Du die zeitliche Schrittweite $h=0.05$ verwenden sollst. Die von dir gesuchten Loesungen sind dann
[mm] $w(x_1)=z'(x_1)=y''(x_1)$
[/mm]
[mm] $z(x_1)=y'(x_1)$
[/mm]
[mm] $y(x_1)$
[/mm]
wobei [mm] $x_1=x_0+h=2+0.05=2.05$.
[/mm]
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Danke für die Antwort, so weit war ich auch schon. Ich weiss nicht was ich einsetzten soll um die anderen beiden Nährwerte zu berechnen.
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Hallo Mascha1988,
> Danke für die Antwort, so weit war ich auch schon. Ich
> weiss nicht was ich einsetzten soll um die anderen beiden
> Nährwerte zu berechnen.
Ersetze jetzt die Ableitung durch den Differenzenquotienten.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Fr 25.05.2012 | | Autor: | Denny22 |
> Danke für die Antwort, so weit war ich auch schon. Ich
> weiss nicht was ich einsetzten soll um die anderen beiden
> Nährwerte zu berechnen.
Wie jetzt?! Das habe ich Dir in meiner letzten Antwort doch ausführlich beschrieben! Da steht alles Schritt für Schritt erklärt. Du musst jetzt noch
1. das (kontinuierliche) Anfangswertproblem mit dem (expliziten/impliziten) Eulerverfahren diskretisieren, um ein zeitdiskretes 3-dimensionales System zu erhalten.
2. den ersten Zeitschritt des Eulerverfahrens berechnen.
Wenn Du nicht weißt, wie man das Eulerverfahren auf Dein System anwendet, kannst Du Dich gerne nochmal melden. Gib dann aber bitte an, welches Eulerverfahren ihr verwenden sollt.
Tipp: Um bei der Diskretisierung von
$ [mm] \vektor{w \\ z \\ y}'(x)=\pmat{ 5 & 0 & -3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0}\vektor{w \\ z \\ y}(x)+\vektor{-\sin^2(x) \\ 0 \\ 0} [/mm] $ mit $ [mm] \vektor{w \\ z \\ y}(2)=\vektor{4 \\ 2 \\ 1} [/mm] $.
den Überblick zu behalten definiere
[mm] $A:=\pmat{ 5 & 0 & -3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0}$, $u(x):=\vektor{w \\ z \\ y}(x)$ [/mm] und [mm] $g(x)=\vektor{-\sin^2(x) \\ 0 \\ 0}$
[/mm]
und schreibe Dein System als
$u'(x)=A u(x)+g(x)$
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Ich habs jetzt gelöst, auch ohne Vektoren. Das ist total einfach:
u1(x1)~ w1,1= u1(xo)+h * u2(xo)
= 1 + 0,05*2= 1,1
u2(x1)~w2,1= u2(xo)+ h* u3 (xo)
= 2 + 0,05 * 4 = 2,2
u3 (x1)~w3,1 = u3 (xo)+ h* u4(xo)
= 4+ 0,05 * (5+4-3+1-sin²(2))= 4,80865
Stimmt das so?
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Hallo Mascha1988,
> Ich habs jetzt gelöst, auch ohne Vektoren. Das ist total
> einfach:
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> u1(x1)~ w1,1= u1(xo)+h * u2(xo)
> = 1 + 0,05*2= 1,1
>
> u2(x1)~w2,1= u2(xo)+ h* u3 (xo)
> = 2 + 0,05 * 4 = 2,2
>
> u3 (x1)~w3,1 = u3 (xo)+ h* u4(xo)
> = 4+ 0,05 * (5+4-3+1-sin²(2))=
> 4,80865
> Stimmt das so?
>
Ja, das stimmt so. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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