Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:57 So 04.10.2009 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | Gegeben sei folgendes Anfangswertproblem:
[mm] \begin{cases} y'(x) = -x(sgn(y(x)))\wurzel{|y(x)|} \\ y(x_{0}) = y_{0} \end{cases}
[/mm]
Finden Sie zu gegebenen [mm] (x_{0},y_{0}) \in \IR^{2} [/mm] alle Lösungen y(x) und stellen Sie ein paar von ihnen für verschiedene Anfangsdaten graphisch dar. |
Hallo zusammen.
Diese Aufgabe bereitet mir Probleme.. ich weiss nicht, was für Fallunterscheidungen nötig und sinnvoll sind. Ich schreibe mal, was ich habe (was wohl falsch ist, da ich an einem Punkt nicht weiter komme...)
Zuerst habe ich mir überlegt, dass es 3 Fälle gibt, welche von der Anfangsbedingung abhängen, nämlich [mm] y(x_{0}) [/mm] = 0, [mm] y(x_{0}) [/mm] < 0 und [mm] y(x_{0}) [/mm] > 0. Also habe ich mit dem ersten Fall angefangen.
1) [mm] y(x_{0}) [/mm] = 0.
Hier haben wir die triviale Lösung y(x) = 0, dann wird entweder [mm] \wurzel{|y(x)|} [/mm] = 0 oder sgn(y(x)) = 0. Ich habe aber das Gefühl, dass mehrere Lösungen möglich sind.. wie find ich die?
Ich bin dann trotzdem weiter zum zweiten Fall gegangen...
2) [mm] y(x_{0}) [/mm] > 0.
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] -x(sgn(y(x)))\wurzel{|y(x)|} \gdw \bruch{dy}{(sgn(y(x)))\wurzel{|y(x)|}} [/mm] = -x dx
Jetzt auf beiden Seiten Integrieren, jedoch nicht unbestimmt, sondern mit Grenzen:
[mm] \integral_{y_{0}}^{y}{\bruch{1}{(sgn(\alpha))\wurzel{|\alpha|}}d\alpha} [/mm] = [mm] \integral_{x_{0}}^{x}{-t dt}
[/mm]
Spätestens jetzt merke ich, dass ich die Aufgabe falsch angegangen bin... das rechte Integral ist kein Problem, aber das linke hat ja wegen dem sgn im Nenner keine Lösung...
Was mache ich falsch? :S
Liebe Grüsse und vielen Dank, Amaro
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 So 04.10.2009 | | Autor: | pelzig |
> [mm]\integral_{y_{0}}^{y}{\bruch{1}{(sgn(\alpha))\wurzel{|\alpha|}}d\alpha}[/mm] = [mm]\integral_{x_{0}}^{x}{-t dt}[/mm]
Soweit hast du alles richtig gemacht. Die rechte Seite ist trivial, für die Linke Seite suche einfach ne Stammfunktion des Integranden. Es ist [mm] $$\frac{1}{\operatorname{sgn}(x)\cdot\sqrt{|x|}}=\begin{cases}x^{-1/2}&x\ge 0\\-(-x)^{-1/2}&\text{sonst}\end{cases}$$ [/mm] Nun suchst du einfach auf [mm] [0,\infty) [/mm] und [mm] (-\infty,0) [/mm] eine Stammfunktion dazu und klebst sie stetig zusammen. Ich erhalte [mm] $2\operatorname{sgn}(x)\cdot\sqrt{|x|}$.
[/mm]
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:01 So 04.10.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo Robert
Danke für deine Erklärung, die kann ich nachvollziehen.
In dem Fall gibt es für [mm] y_{0} [/mm] = 0 tatsächlich nur die triviale Lösung ja?
Jetzt noch den Fall [mm] y_{0} [/mm] < 0 bearbeiten... ich melde mich dann evtl wieder :)
Danke schön!
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 So 04.10.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Ich habe nun weiter gemacht...
Ich habe nun also die Funktionen zu [mm] 2*sgn(\alpha)\wurzel{\alpha} [/mm] zusammengeklebt. Das war die linke Seite. Wenn ich jetzt noch mit den Grenzen arbeite und alles gleichstelle, dann kommt also raus:
[mm] \bruch{1}{2}(x_{0}^{2} [/mm] - [mm] x^{2}) [/mm] = [mm] 2*sgn(y)\wurzel{|y|} [/mm] - [mm] 2*sgn(y_{0})\wurzel{|y_{0}|}
[/mm]
und somit
y(x) = [mm] (\bruch{\bruch{1}{2}(x_{0}^{2} - x^{2}) + 2*sgn(y_{0})\wurzel{|y_{0}|}}{2*sgn(y)})^{2}
[/mm]
Jetzt kann ich dies ja auf ganz [mm] \IR [/mm] fortsetzen, indem ich sage
y(x) = [mm] \begin{cases} (\bruch{\bruch{1}{2}(x_{0}^{2} - x^{2}) + 2*sgn(y_{0})\wurzel{|y_{0}|}}{2*sgn(y)})^{2}, & \mbox{für } x \ge \wurzel{x_{0}^{2} + 4*sgn(y_{0})\wurzel{|y_{0}|}} \\ 0, & \mbox{für } x < \wurzel{x_{0}^{2} + 4*sgn(y_{0})\wurzel{|y_{0}|}} \end{cases}
[/mm]
Ist das richtig? Analog kann ich den Fall [mm] y_{0} [/mm] < 0 bearbeiten.
Schliesslich kann ich auch die Lösungen für [mm] y_{0} [/mm] = 0 aufschreiben (es gibt ja dann unendlich viele), indem ich die obige Lösung für beliebige c nehme, ja?
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
Hallo Arcesius,
> Hallo
>
> Ich habe nun weiter gemacht...
>
> Ich habe nun also die Funktionen zu
> [mm]2*sgn(\alpha)\wurzel{\alpha}[/mm] zusammengeklebt. Das war die
> linke Seite. Wenn ich jetzt noch mit den Grenzen arbeite
> und alles gleichstelle, dann kommt also raus:
>
> [mm]\bruch{1}{2}(x_{0}^{2}[/mm] - [mm]x^{2})[/mm] = [mm]2*sgn(y)\wurzel{|y|}[/mm] -
> [mm]2*sgn(y_{0})\wurzel{|y_{0}|}[/mm]
>
> und somit
>
> y(x) = [mm](\bruch{\bruch{1}{2}(x_{0}^{2} - x^{2}) + 2*sgn(y_{0})\wurzel{|y_{0}|}}{2*sgn(y)})^{2}[/mm]
>
> Jetzt kann ich dies ja auf ganz [mm]\IR[/mm] fortsetzen, indem ich
> sage
>
> y(x) = [mm]\begin{cases} (\bruch{\bruch{1}{2}(x_{0}^{2} - x^{2}) + 2*sgn(y_{0})\wurzel{|y_{0}|}}{2*sgn(y)})^{2}, & \mbox{für } x \ge \wurzel{x_{0}^{2} + 4*sgn(y_{0})\wurzel{|y_{0}|}} \\ 0, & \mbox{für } x < \wurzel{x_{0}^{2} + 4*sgn(y_{0})\wurzel{|y_{0}|}} \end{cases}[/mm]
>
Da [mm]y_{0} > 0[/mm] ist, muß hier gelten:
y(x) = [mm]\begin{cases} (\bruch{\bruch{1}{2}(x_{0}^{2} - x^{2}) + 2*sgn(y_{0})\wurzel{|y_{0}|}}{2*sgn(y)})^{2}, & \mbox{für } x \red{<} \wurzel{x_{0}^{2} + 4*sgn(y_{0})\wurzel{|y_{0}|}} \\ 0, & \mbox{für } x \red{\ge} \wurzel{x_{0}^{2} + 4*sgn(y_{0})\wurzel{|y_{0}|}} \end{cases}[/mm]
Korrekterweise existiert diese Lösung nur, wenn y > 0 ist.
>
> Ist das richtig? Analog kann ich den Fall [mm]y_{0}[/mm] < 0
> bearbeiten.
Ja.
>
> Schliesslich kann ich auch die Lösungen für [mm]y_{0}[/mm] = 0
> aufschreiben (es gibt ja dann unendlich viele), indem ich
> die obige Lösung für beliebige c nehme, ja?
>
> Grüsse, Amaro
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 So 04.10.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo MathePower
> Da [mm]y_{0} > 0[/mm] ist, muß hier gelten:
>
> y(x) = [mm]\begin{cases} (\bruch{\bruch{1}{2}(x_{0}^{2} - x^{2}) + 2*sgn(y_{0})\wurzel{|y_{0}|}}{2*sgn(y)})^{2}, & \mbox{für } x \red{<} \wurzel{x_{0}^{2} + 4*sgn(y_{0})\wurzel{|y_{0}|}} \\ 0, & \mbox{für } x \red{\ge} \wurzel{x_{0}^{2} + 4*sgn(y_{0})\wurzel{|y_{0}|}} \end{cases}[/mm]
>
> Korrekterweise existiert diese Lösung nur, wenn y > 0
> ist.
Vielen Dank für deine Korrektur.
Heisst das aber, wenn y < 0 und [mm] y_{0} [/mm] > 0 gibt es keine Lösung, oder sieht sie nur anders aus?
Sonst hätte ich jetzt Lösungen für y < 0 und [mm] y_{0} [/mm] < 0, y > 0 und [mm] y_{0} [/mm] > 0 und für [mm] y_{0} [/mm] = 0.
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
Hallo Arcesius,
> Hallo MathePower
>
> > Da [mm]y_{0} > 0[/mm] ist, muß hier gelten:
> >
> > y(x) = [mm]\begin{cases} (\bruch{\bruch{1}{2}(x_{0}^{2} - x^{2}) + 2*sgn(y_{0})\wurzel{|y_{0}|}}{2*sgn(y)})^{2}, & \mbox{für } x \red{<} \wurzel{x_{0}^{2} + 4*sgn(y_{0})\wurzel{|y_{0}|}} \\ 0, & \mbox{für } x \red{\ge} \wurzel{x_{0}^{2} + 4*sgn(y_{0})\wurzel{|y_{0}|}} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Korrekterweise existiert diese Lösung nur, wenn y > 0
> > ist.
>
>
> Vielen Dank für deine Korrektur.
>
> Heisst das aber, wenn y < 0 und [mm]y_{0}[/mm] > 0 gibt es keine
> Lösung, oder sieht sie nur anders aus?
Für diesen Fall gibt keine Lösung.
>
> Sonst hätte ich jetzt Lösungen für y < 0 und [mm]y_{0}[/mm] < 0,
> y > 0 und [mm]y_{0}[/mm] > 0 und für [mm]y_{0}[/mm] = 0.
>
So isses.
>
> Grüsse, Amaro
>
Gruss
MathePower
|
|
|
|
