Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:19 So 04.10.2009 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | Lösen Sie nachstehendes Anfangswertproblem:
[mm] \begin{cases} x_{1}' = ix_{1} + x_{2}, \\ x_{2}' = -x_{1} - ix_{2}, \\ x_{1}(0) = x_{2}(0) = 1 \end{cases} [/mm] |
Guten Morgen :)
Ich würde gerne diese Aufgabe von euch überprüfen lassen.
Nun, da das AWP homogen ist, brauche ich nur 2 Teile: Homogene Lösung und Konstantenbestimmung.
1. Homogene Lösung:
z(t) = [mm] (x_{1}(z),x_{2}(z))
[/mm]
z' = Az
In diesem Fall ist A = [mm] \pmat{i & 1 \\ -1 & -i} [/mm] und die Lösung sieht so aus:
[mm] z_{H} [/mm] = [mm] c_{1}e^{\lambda_{1}t}v_{1} [/mm] + [mm] c_{2}e^{\lambda_{2}t}v_{2}
[/mm]
wobei [mm] \lambda_{1,2} [/mm] die Eigenwerte der Matrix und [mm] v_{1,2} [/mm] die entsprechenden Eigenvektoren.
Ich berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren und erhalte:
[mm] \lambda_{1} [/mm] = [mm] i\wurzel{2} [/mm]
[mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] -i\wurzel{2}
[/mm]
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{i(-1-\wurzel{2})\\ 1}
[/mm]
[mm] v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{i(-1+\wurzel{2})\\ 1}
[/mm]
So.. Dann sieht meine Lösung jetzt konkreter so aus:
[mm] z_{H} [/mm] = [mm] c_{1}e^{i\wurzel{2}t}\vektor{i(-1-\wurzel{2}) \\ 1} [/mm] + [mm] c_{2}e^{-i\wurzel{2}t}\vektor{i(-1-\wurzel{2}) \\ 1}
[/mm]
Soweit richtig?
Jetzt muss ich noch [mm] c_{1} [/mm] und [mm] c_{2} [/mm] bestimmen. Nach der Voraussetzung, [mm] x_{1}(0) [/mm] = [mm] x_{2}(0) [/mm] = 1 ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
[mm] c_{1} [/mm] + [mm] c_{2} [/mm] = 1
[mm] c_{1}(i(-1-\wurzel{2})) [/mm] + [mm] c_{2}(i(-1+\wurzel{2})) [/mm] = 1
Und nach den ganzen Umformungen erhalte ich
[mm] c_{1} [/mm] = [mm] 1-\bruch{1+i(1+\wurzel{2})}{2i\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] c_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1+i(1+\wurzel{2})}{2i\wurzel{2}}
[/mm]
Und somit:
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] (1-\bruch{1+i(1+\wurzel{2})}{2i\wurzel{2}})e^{i\wurzel{2}t}(i(-1-\wurzel{2})) [/mm] + [mm] (\bruch{1+i(1+\wurzel{2})}{2i\wurzel{2}})e^{-i\wurzel{2}t}(i(-1+\wurzel{2}))
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] (1-\bruch{1+i(1+\wurzel{2})}{2i\wurzel{2}})e^{i\wurzel{2}t} [/mm] + [mm] (\bruch{1+i(1+\wurzel{2})}{2i\wurzel{2}})e^{-i\wurzel{2}t}
[/mm]
Danke schon mal fürs drüberschauen..
Liebe Grüsse, Amaro
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Hallo Arcesius,
> Lösen Sie nachstehendes Anfangswertproblem:
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> [mm]\begin{cases} x_{1}' = ix_{1} + x_{2}, \\ x_{2}' = -x_{1} - ix_{2}, \\ x_{1}(0) = x_{2}(0) = 1 \end{cases}[/mm]
>
> Guten Morgen :)
>
> Ich würde gerne diese Aufgabe von euch überprüfen
> lassen.
>
>
> Nun, da das AWP homogen ist, brauche ich nur 2 Teile:
> Homogene Lösung und Konstantenbestimmung.
>
>
> 1. Homogene Lösung:
>
> z(t) = [mm](x_{1}(z),x_{2}(z))[/mm]
> z' = Az
>
> In diesem Fall ist A = [mm]\pmat{i & 1 \\ -1 & -i}[/mm] und die
> Lösung sieht so aus:
>
> [mm]z_{H}[/mm] = [mm]c_{1}e^{\lambda_{1}t}v_{1}[/mm] +
> [mm]c_{2}e^{\lambda_{2}t}v_{2}[/mm]
>
> wobei [mm]\lambda_{1,2}[/mm] die Eigenwerte der Matrix und [mm]v_{1,2}[/mm]
> die entsprechenden Eigenvektoren.
>
> Ich berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren und erhalte:
>
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = [mm]i\wurzel{2}[/mm]
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = [mm]-i\wurzel{2}[/mm]
>
> [mm]v_{1}[/mm] = [mm]\vektor{i(-1-\wurzel{2})\\ 1}[/mm]
> [mm]v_{2}[/mm] =
> [mm]\vektor{i(-1+\wurzel{2})\\ 1}[/mm]
>
> So.. Dann sieht meine Lösung jetzt konkreter so aus:
>
> [mm]z_{H}[/mm] = [mm]c_{1}e^{i\wurzel{2}t}\vektor{i(-1-\wurzel{2}) \\ 1}[/mm]
> + [mm]c_{2}e^{-i\wurzel{2}t}\vektor{i(-1-\wurzel{2}) \\ 1}[/mm]
>
>
> Soweit richtig?
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Jetzt muss ich noch [mm]c_{1}[/mm] und [mm]c_{2}[/mm] bestimmen. Nach der
> Voraussetzung, [mm]x_{1}(0)[/mm] = [mm]x_{2}(0)[/mm] = 1 ergibt sich
> folgendes Gleichungssystem:
>
> [mm]c_{1}[/mm] + [mm]c_{2}[/mm] = 1
>
> [mm]c_{1}(i(-1-\wurzel{2}))[/mm] + [mm]c_{2}(i(-1+\wurzel{2}))[/mm] = 1
>
>
> Und nach den ganzen Umformungen erhalte ich
>
> [mm]c_{1}[/mm] = [mm]1-\bruch{1+i(1+\wurzel{2})}{2i\wurzel{2}}[/mm]
> [mm]c_{2}[/mm] = [mm]\bruch{1+i(1+\wurzel{2})}{2i\wurzel{2}}[/mm]
>
> Und somit:
>
> [mm]x_{1}[/mm] =
> [mm](1-\bruch{1+i(1+\wurzel{2})}{2i\wurzel{2}})e^{i\wurzel{2}t}(i(-1-\wurzel{2}))[/mm]
> +
> [mm](\bruch{1+i(1+\wurzel{2})}{2i\wurzel{2}})e^{-i\wurzel{2}t}(i(-1+\wurzel{2}))[/mm]
> [mm]x_{2}[/mm] =
> [mm](1-\bruch{1+i(1+\wurzel{2})}{2i\wurzel{2}})e^{i\wurzel{2}t}[/mm]
> +
> [mm](\bruch{1+i(1+\wurzel{2})}{2i\wurzel{2}})e^{-i\wurzel{2}t}[/mm]
>
Das stimmt soweit.
>
> Danke schon mal fürs drüberschauen..
>
> Liebe Grüsse, Amaro
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:25 So 04.10.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo MathePower
Soweit? Gibts da noch was zu machen? ;)
Danke für deine Zeit!
Grüsse, Amaro
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 So 04.10.2009 | | Autor: | MathePower |
Hallo Arcesius,
> Hallo MathePower
>
> Soweit? Gibts da noch was zu machen? ;)
Laut Aufgabe gibt es nichts mehr zu machen.
Gegebenenfalls kann die Lösungsfunktion noch etwas umgeformt werden.
>
> Danke für deine Zeit!
>
> Grüsse, Amaro
Gruss
MathePower
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