Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:24 Do 30.07.2009 | | Autor: | tony90 |
| Aufgabe | folgende DGL ist zu lösen:
[mm] y'=\bruch{x*y^{2}}{1+x^{2}} [/mm] mit y(0)=1 |
also kommen wir gleich zur lösung:
y(x) = [mm] \bruch{-2}{ln(x^{2}+1)} [/mm] + c
1. Frage: wenn ich darin jetzt den anfangswert einsetze hab ich den ln(1) im nenner, also wird das ding 0, durch null teilen geht aber nicht...
2. Frage
die lösung verlangt anzukreuzen welche form das ding hat:
das richtige kreuzchen sieht so aus:
[mm] \bruch{\alpha*a+1}{\beta+\bruch{1}{2}*ln(x^{2}+\gamma)}
[/mm]
im folgenden sind auch alpha, beta und gamma anzugeben.
kann mir einer diese form erklären und sagen was alpha beta und gamma sind? in meiner literatur hab ich so eine form noch nie gesehen...
vielen dank
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Hallo tony90,
> folgende DGL ist zu lösen:
>
> [mm]y'=\bruch{x*y^{2}}{1+x^{2}}[/mm] mit y(0)=1
> also kommen wir gleich zur lösung:
>
> y(x) = [mm]\bruch{-2}{ln(x^{2}+1)}[/mm] + c
>
> 1. Frage: wenn ich darin jetzt den anfangswert einsetze hab
> ich den ln(1) im nenner, also wird das ding 0, durch null
> teilen geht aber nicht...
>
Die Lösung ist leicht anders:
[mm]y\left(x\right)=-\bruch{2}{\ln\left(1+x^{2}\right)+2*C}[/mm]
> 2. Frage
>
> die lösung verlangt anzukreuzen welche form das ding hat:
>
> das richtige kreuzchen sieht so aus:
>
> [mm]\bruch{\alpha*a+1}{\beta+\bruch{1}{2}*ln(x^{2}+\gamma)}[/mm]
>
> im folgenden sind auch alpha, beta und gamma anzugeben.
>
> kann mir einer diese form erklären und sagen was alpha
> beta und gamma sind? in meiner literatur hab ich so eine
> form noch nie gesehen...
Offenbar wurde hier die DGL
[mm]y'=\bruch{x*y^{2}}{x^{2}+\gamma}[/mm]
zugrunde gelegt.
Dies erklärt zumindest wie der Nenner zustande kommt.
Wie der Zähler zustande kommt, kann ich mir nicht erklären.
>
> vielen dank
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:03 Do 30.07.2009 | | Autor: | tony90 |
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs67/seite6.html
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:04 Fr 31.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ![[]](/images/popup.gif) http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs67/seite6.html
>
> hier mal der link zu der aufgabe....
>
> vielleicht versteht es ja irgendwer
Ja, das ist doch eigentlich sehr einfach: du sollst sagen, wie die Loesung aussieht. Vorgegeben hast du erstmal drei moegliche Formen der Loesung; jede dieser Form hat drei Formparameter, [mm] $\alpha$, $\beta$ [/mm] und [mm] $\gamma$.
[/mm]
Du musst also:
1) die Form angeben und
2) die Werte fuer [mm] $\alpha$, $\beta$ [/mm] und [mm] $\gamma$ [/mm] angeben.
Laut MathePower ist die richtige allgemeine Loesung $y(x) = [mm] -\bruch{2}{\ln\left(1+x^{2}\right)+2\cdot{}C}$; [/mm] wenn du jetzt $y(0) = 1$ setzt, bekommst du eine Gleichung, die (hoffentlich) genau einen Wert fuer $C$ liefert. Diesen bestimm zuerst.
Dann musst du [mm] $\alpha, \beta, \gamma$ [/mm] bestimmen so dass $ [mm] \bruch{\alpha\cdot{}a+1}{\beta-\bruch{1}{2}\cdot{}ln(x^{2}+\gamma)} [/mm] = [mm] -\bruch{2}{\ln\left(1+x^{2}\right)+2\cdot{}C}$ [/mm] ist fuer genau dieses $C$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:12 Fr 31.07.2009 | | Autor: | tony90 |
mhhh... das macht doch aber eine gleichung mit 3 unbekannten.... wie bitte soll das eindeutig lösbar sein?
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Hallo Tony
> mhhh... das macht doch aber eine gleichung mit 3
> unbekannten.... wie bitte soll das eindeutig lösbar sein?
Nein: Du hast die Lösungsfunktion des Anfangswertproblems berechnet, der Weg wurde beschrieben. Diese vergleichst Du mit der gegebenen Form und erhälst durch Koeffizientenvergleich (nachdem Du Sie auf die geg. Form umgeformt hast) Alpha, Beta und Gamma.
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:05 Fr 31.07.2009 | | Autor: | tony90 |
sorry tut mir leid, aber der koeffizientenvergleich liefert bei mir kein ergebnis, zumal er zu kompliziert ist um ihn von hand zu berechnen,...
trotzdem danke für eure mühe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 Fr 31.07.2009 | | Autor: | fencheltee |
> sorry tut mir leid, aber der koeffizientenvergleich liefert
> bei mir kein ergebnis, zumal er zu kompliziert ist um ihn
> von hand zu berechnen,...
>
>
> trotzdem danke für eure mühe
so schwer ist das eigentlich nicht. du hattest deine lösung für das awp
[mm] y=-\frac{2}{ln(x^2+1)-2}
[/mm]
nun sollst du dies mit [mm] y=\frac{\alpha *a+1}{\beta - 0.5*ln(x^2+\gamma)} [/mm] vergleichen
als erstes würdest du ja das minus in den nenner ziehen und zähler und nenner /2 teilen, dann bekommst du
[mm] \frac{1}{-0.5*ln(x^2+1)+1}
[/mm]
dann siehst du direkt, dass [mm] \alpha [/mm] = 0, [mm] \beta [/mm] = 1 und [mm] \gamma [/mm] = 1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:57 Fr 31.07.2009 | | Autor: | tony90 |
DAnke jetzt macht das ganze auch sinn für mich,...
dieser koeffizientenvergleich war ein wenig komisch auf dem papier, aber man kann es ja durch hinsehen lösen...
thx
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