Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 So 11.01.2009 | | Autor: | Tazz |
| Aufgabe | Lösen Sie das Anfangswertproblem:
[mm] y'=y^4 \cos x + y \tan x,\qquad y(0)=\bruch{1}{2}.[/mm] |
Dies ist ja offensichtlich eine Bernoulli DGL mit [mm]\alpha = 4[/mm].
Jetzt multipliziert man die DGL mit [mm](1-\alpha )y^{-\alpha} = -3y^{-4}[/mm]
Raus kommt:
[mm]-3y^{-4}y' = -3y^{-4}*y^4\cos x+ (-3y^{-4}y\tan x)[/mm]
[mm]=-3\cos x + -3y^{-3}\tan x[/mm]
Jetzt muss ich laut Übungsaufzeichnungen substituieren, jedoch kann ich diesen Fall nicht auf meine Aufgabe übertragen.
Wie rechne ich nun weiter?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 So 11.01.2009 | | Autor: | Tazz |
Danke vielmals für den Link.
Jetzt konnte ich die Bernoulli DGL in eine inhomoge DGL überführen.
Wenn ich diese nach Anleitung der angegebenen URL löse ,erhalte ich die allgemeine Lösung:
[mm]z=A*e^{3*ln(cos(x))}+cos(x)^3[/mm]
nur resubstituiere ich und erhalte:
(da [mm]z=y^{-3}=\bruch{1}{y^3}\gdw y=\bruch{1}{\wurzel[3]{z}[/mm])
[mm]\Rightarrow y=\bruch{1}{\wurzel[3]{A*e^{3*ln(cos(x))}+cos(x)^3}[/mm]
Wann und wo wird nun [mm]y(0)=\bruch{1}{2}[/mm] benutzt?
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Hallo Tazz,
> Danke vielmals für den Link.
>
> Jetzt konnte ich die Bernoulli DGL in eine inhomoge DGL
> überführen.
>
> Wenn ich diese nach Anleitung der angegebenen URL löse
> ,erhalte ich die allgemeine Lösung:
> [mm]z=A*e^{3*ln(cos(x))}+cos(x)^3[/mm]
Die Lösung der inhomogenen DGL stimmt nicht.
[mm]z\left(x\right)=A*e^{3*\ln\left( \ \cos\left(x\right) \ \right)}+\red{\cos^{3}\left(x\right)}[/mm]
Dieser Teil stimmt nicht.
Es gilt [mm]e^{3*\ln\left( \ \cos\left(x\right) \ \right)}=\cos^{3}\left(x\right)[/mm]
>
> nur resubstituiere ich und erhalte:
> (da [mm]z=y^{-3}=\bruch{1}{y^3}\gdw y=\bruch{1}{\wurzel[3]{z}[/mm])
>
> [mm]\Rightarrow y=\bruch{1}{\wurzel[3]{A*e^{3*ln(cos(x))}+cos(x)^3}[/mm]
>
> Wann und wo wird nun [mm]y(0)=\bruch{1}{2}[/mm] benutzt?
>
Setze [mm]y=\bruch{1}{2}[/mm] und [mm]x=0[/mm] in die Lösungsfunktion ein.
Dann erhältst Du einen Wert für A.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 So 11.01.2009 | | Autor: | Tazz |
Dankeschön.
Habe jetzt sehr Wahrscheinlich den Fehler gefunden.
Komme nun auf:
[mm]z(x)=A*\cos^3(x)-3\cos^2(x)\sin(x)[/mm]
y ist [mm]\bruch{1}{\wurzel[3]{z(x)}}=\bruch{1}{\wurzel[3]{A*\cos^3(x)-3\cos^2(x)\sin(x)}}[/mm]
und [mm]\bruch{1}{\wurzel[3]{A*\cos^3(0)-3\cos^2(x)\sin(0)}} = \bruch{1}{2}[/mm] ergibt nachdem nach A aufgelöst worden ist 8.
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Hallo Tazz,
> Dankeschön.
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> Habe jetzt sehr Wahrscheinlich den Fehler gefunden.
>
> Komme nun auf:
>
> [mm]z(x)=A*\cos^3(x)-3\cos^2(x)\sin(x)[/mm]
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> y ist
> [mm]\bruch{1}{\wurzel[3]{z(x)}}=\bruch{1}{\wurzel[3]{A*\cos^3(x)-3\cos^2(x)\sin(x)}}[/mm]
>
> und [mm]\bruch{1}{\wurzel[3]{A*\cos^3(0)-3\cos^2(x)\sin(0)}} = \bruch{1}{2}[/mm]
> ergibt nachdem nach A aufgelöst worden ist 8.
Das stimmt auch.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:48 So 11.01.2009 | | Autor: | Tazz |
Vielen Dank euch Zweien.
Der Link hat mir sehr geholfen und die Kontrolle von MathePower ebenfalls 
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
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