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| Aufgabe | | $ [mm] \begin{cases}y'(x)=y(x)-2sin(x), &\text{für } t \in [0,5]\\y(0)=1\end{cases}\,. [/mm] $ |
Ich habe diese Diff.gleichung exakt zu lösen.
Meine Lösung, welche die erste Bedingung erfüllt ist:
[mm] y(t)=-2e^{t}\integral{sin(t)e^{-t}dt}
[/mm]
Die Lösung sieht mir aber viel zu kompliziert aus. Zumal angegeben wurde, dass es eine Linearkombination von sin und cos sei.. Was habe ich falsch gemacht? Und könnte ich die [mm] -2e^{t} [/mm] ins Integral nehmen? Dann würde das doch schon viel angenehmer aussehen..
Wäre sehr froh um einen Tipp (oder auch zwei =))
Vielen Dank, Ersti
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Hallo ueberforderter_Ersti,
> [mm]\begin{cases}y'(x)=y(x)-2sin(x), &\text{für } t \in [0,5]\\y(0)=1\end{cases}\,.[/mm]
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> Ich habe diese Diff.gleichung exakt zu lösen.
> Meine Lösung, welche die erste Bedingung erfüllt ist:
> [mm]y(t)=-2e^{t}\integral{sin(t)e^{-t}dt}[/mm]
> Die Lösung sieht mir aber viel zu kompliziert aus. Zumal
> angegeben wurde, dass es eine Linearkombination von sin und
> cos sei.. Was habe ich falsch gemacht? Und könnte ich die
> [mm]-2e^{t}[/mm] ins Integral nehmen? Dann würde das doch schon viel
> angenehmer aussehen..
Nichts hast Du falsch gemacht.
Das Integral [mm]\integral{sin(t)e^{-t}dt}[/mm] löst Du mit Hilfe der partiellen Integration.
> Wäre sehr froh um einen Tipp (oder auch zwei =))
> Vielen Dank, Ersti
Gruß
MathePower
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Herzlichen dank für die schnelle Antwort!
Das freut mich jetzt richtig, dass ich das gar nicht so verkehrt gemacht habe =) An partielle Integration habe ich auch schon gedacht, nur komme ich da auf einen grünen Zweig? Ich meine sowohl sinus als auch die Exponetialfunktion sind ja unenedlich oft integrierbar/differenzierbar..
Merci, Ersti
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Hallo ueberforderter_Ersti,
> Herzlichen dank für die schnelle Antwort!
> Das freut mich jetzt richtig, dass ich das gar nicht so
> verkehrt gemacht habe =) An partielle Integration habe ich
> auch schon gedacht, nur komme ich da auf einen grünen
> Zweig? Ich meine sowohl sinus als auch die
> Exponetialfunktion sind ja unenedlich oft
> integrierbar/differenzierbar..
Nach endlich vielen Schritten (hier: 2) kommst Du zum Ziel.
Alternative ist, wenn Du die komplexe Form des Sinus verwendest:
[mm]\sin\left(t\right)=\bruch{e^{it}-e^{-it}}{2i}[/mm]
Das wird dann so integriert:
[mm]\integral_{}^{}{\sin\left(t\right) e^{-t} \ dt}=\integral_{}^{}{\left(\bruch{e^{it}-e^{-it}}{2i}\right) e^{-t} \ dt}[/mm]
Nach dem Integrieren mußt Du das ganze wieder rückgängig machen.
Beachte, daß auch
[mm]\cos\left(t\right)=\bruch{e^{it}+e^{-it}}{2}[/mm]
gilt.
> Merci, Ersti
Gruß
MathePower
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