Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie die Lösung y(t) des Anfangswertproblems
y'+2y=t y(0)=1 |
Irgendwie komme ich mit dem t nicht klar.
[mm] \bruch{dy}{dt}+2y=t
[/mm]
dy+2y=t+dt
[mm] =(y+y^{2})=(\bruch{1}{2}t^{2}+t)
[/mm]
[mm] y^{2}=\bruch{1}{2}t^{2}+t-y+C
[/mm]
[mm] y^{2}-\bruch{1}{2}t^{2}-t+y=C
[/mm]
[mm] C=-\bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] y^{2}=\bruch{1}{2}t^{2}+t-y-\bruch{3}{2}
[/mm]
Ich glaube ich habe den falschen Rechenweg angewandt...ich hab keine Ahnung was ich mit dem t machen soll. Kann mir jemand helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Fr 29.08.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Esperanza,
du musst zuerst die homogene Dgl lösen:
[mm] y'+2y=\blue{0}
[/mm]
und anschließend kannst du für die Störfunktion z(t)=t den Ansatz [mm] y_p=At+B [/mm] wählen. Nun [mm] y_p [/mm] ableiten, in die DGL einsetzen und Koeffizientenvergleich.
Meld' dich bei Schwierigkeiten, ok 
Liebe Grüße
Herby
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Ok, ich glaub dann kann ichs!
also y'+2y=0
[mm] \lambda+2=0 \lambda=-2
[/mm]
[mm] y_{0}=C1*e^{-2t}
[/mm]
yp=At+B
y'p=A
1(A)+2(At+B) =A+2At+2B=t
Koeffizientenvergleich:
2A=1 [mm] A=\bruch{1}{2}
[/mm]
A+2B=0 [mm] B=-\bruch{1}{4}
[/mm]
Einsetzen in yp: [mm] =\bruch{1}{2}t-\bruch{1}{4}
[/mm]
y=y0+yp = [mm] C1*e^{-2t}+\bruch{1}{2}t-\bruch{1}{4}
[/mm]
spezielle Lösung: y(0)=1
[mm] 1=C1*e^{-2*0}+\bruch{1}{2}*0-\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] C=\bruch{5}{4}
[/mm]
y=y0+yp = [mm] \bruch{5}{4}*e^{-2t}+\bruch{1}{2}t-\bruch{1}{4}
[/mm]
Hoffe das stimmt jetzt so! Danke dir!
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Hallo Esperanza,
> Ok, ich glaub dann kann ichs!
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> also y'+2y=0
> [mm]\lambda+2=0 \lambda=-2[/mm]
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> [mm]y_{0}=C1*e^{-2t}[/mm]
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> yp=At+B
> y'p=A
>
> 1(A)+2(At+B) =A+2At+2B=t
>
> Koeffizientenvergleich:
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> 2A=1 [mm]A=\bruch{1}{2}[/mm]
> A+2B=0 [mm]B=-\bruch{1}{4}[/mm]
>
> Einsetzen in yp: [mm]=\bruch{1}{2}t-\bruch{1}{4}[/mm]
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> y=y0+yp = [mm]C1*e^{-2t}+\bruch{1}{2}t-\bruch{1}{4}[/mm]
>
> spezielle Lösung: y(0)=1
> [mm]1=C1*e^{-2*0}+\bruch{1}{2}*0-\bruch{1}{4}[/mm]
> [mm]C=\bruch{5}{4}[/mm]
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> y=y0+yp = [mm]\bruch{5}{4}*e^{-2t}+\bruch{1}{2}t-\bruch{1}{4}[/mm]
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> Hoffe das stimmt jetzt so! Danke dir!
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Perfekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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