Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Mi 22.05.2019 | | Autor: | Ataaga |
| Aufgabe | Hallo, ich habe Aufgabe a berechnet, bei b habe ich leider kein Plan...
Kann bitte jemand helfen? |
LG
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:44 Mi 22.05.2019 | | Autor: | Martinius |
Hallo Ataaga,
mir würde es helfen, wenn Du die Aufgabe, um die es geht, mit dem Editor hier eintippen würdest.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Do 23.05.2019 | | Autor: | Ataaga |
Hallo,
Gegeben sei dieses Anfangswertproblem:
x'sint-x cost=t [mm] x(\pi/2)=1
[/mm]
Bestimmen Sie alle Lösungen, in dem Sie...
a)die Variation der Konstanten explizit durchführen
b)die allgemeine Lösungsformel verwenden:
[mm] $x(t)=e^{A(t)} [/mm] * [mm] \left( x_0+ \integral_{t_0}^{t}{e^{-A(s)} *g(s) dx} \right)$
[/mm]
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Hallo Ataaga,
(1) [mm] $\frac{dx}{dt}*sin(t)-x*cos(t)\;=\;t$
[/mm]
[mm] $\frac{dx}{dt}*sin(t)-x*cos(t)\;=\;0$
[/mm]
[mm] $\frac{dx}{dt}\;=\;x*\frac{cos(t)}{sin(t)}$
[/mm]
[mm] $\int \frac{1}{x}\;dx\;=\;\int \frac{cos(t)}{sin(t)} \; [/mm] dt$
[mm] $ln|x|\;=\;ln|sin(t)|+C$
[/mm]
(2) [mm] $x(t)\;=\;D*sin(t)$
[/mm]
[mm] $x(t)\;=\;D(t)*sin(t)$
[/mm]
[mm] $\dot x\;=\;\dot [/mm] D*sin(t)+D*cos(t)$
Einsetzen in (1): [mm] $(\dot D*sin(t)+D*cos(t))*sin(t)-(D*sin(t))*cos(t)\;=\;t$
[/mm]
[mm] $\frac{dD}{dt}*(sin(t))^2\;=\;t$
[/mm]
[mm] $\int dD\;=\;\int \frac{t}{(sin(t))^2}\;dt$ [/mm] Hier verwende ich eine Formelsammlung.
[mm] $D\;=\;-t*\frac{cos(t)}{sin(t)}+ln|sin(t)|+E$
[/mm]
Einsetzen in (2):
[mm] $x(t)\;=\;-t*cos(t)+sin(t)*ln|sin(t)|+E*sin(t)$
[/mm]
Nun noch die Anfangsbedingung einsetzen.
LG, Martinius
P.S. Wie ich eben erst sehe hast Du a) schon richtig gelöst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 Do 23.05.2019 | | Autor: | Ataaga |
Hallo,
danke. Ich habe problme bei b?
ich weißes nicht wie ich b rechnen sol mit der allgemeinen Formel!
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:13 Fr 24.05.2019 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> danke. Ich habe problme bei b?
> ich weißes nicht wie ich b rechnen sol mit der
> allgemeinen Formel!
Die Formel lautet:
$ [mm] x(t)=e^{A(t)} \cdot{} \left( x_0+ \integral_{t_0}^{t}{e^{-A(s)} \cdot{}g(s) dx} \right) [/mm] $.
In Deiner Aufgabe ist
$A(t)= [mm] \frac{\cos(t)}{\sin(t)}= \cot(t)$,
[/mm]
$g(t)=t$,
[mm] t_0=\pi/2 [/mm] und [mm] x_0=1.
[/mm]
>
> Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 Do 23.05.2019 | | Autor: | chrisno |
Ich habe mal die Darstellung der Formel in Ordnung gebracht. Da fehlten ein paar geschweifte Klammern.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 Fr 24.05.2019 | | Autor: | fred97 |
Ich denke, dass die Frage nun beantwortet ist.
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