Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Mo 01.10.2018 | | Autor: | StudMWT |
| Aufgabe | Lösen Sie das Anfangswertproblem
[mm] \dot{x(t)} [/mm] = x(t) - [mm] x^2(t), [/mm] x(0)=2.
Bestimmen Sie [mm] \limes_{t\rightarrow\infty} [/mm] x(t). |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich kann den ersten Teil dieser Aufgabe leider nicht lösen, da ich nicht weiß wie ich an diese Aufgabe herangehen soll.
Den zweiten Teil mit lim bekomme ich dann schon hin.
ps.: auf der linken Seite soll ein Punkt für die Ableitung nach der Zeit über dem x sein.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 Mo 01.10.2018 | | Autor: | fred97 |
> Lösen Sie das Anfangswertproblem
> [mm]\dot{x(t)}[/mm] = x(t) - [mm]x^2(t),[/mm] x(0)=2.
>
> Bestimmen Sie [mm]\limes_{t\rightarrow\infty}[/mm] x(t).
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich kann den ersten Teil dieser Aufgabe leider nicht
> lösen, da ich nicht weiß wie ich an diese Aufgabe
> herangehen soll.
Tipp: für die allgemeine Lösung der Differentialgleichung verwende Trennung der Variablen.
>
> Den zweiten Teil mit lim bekomme ich dann schon hin.
>
> ps.: auf der linken Seite soll ein Punkt für die Ableitung
> nach der Zeit über dem x sein.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:08 Mo 01.10.2018 | | Autor: | StudMWT |
Danke für den Hinweise, so komme ich aber nur fast auf das Ergebnis. Ich bilde dann ja die Stammfunktion zu dem Bruch [mm] 1/(x-x^2).
[/mm]
Da kommt dann ja der ln mit Betrag drin vor und x muss größer als 1 sein.
Wenn ich dann beide Seiten mit e berechne komme ich aber auf das falsche Ergebnis.
Habe ich da evtl. Rechenregeln nicht korrekt befolgt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 Mo 01.10.2018 | | Autor: | fred97 |
> Danke für den Hinweise, so komme ich aber nur fast auf das
> Ergebnis. Ich bilde dann ja die Stammfunktion zu dem Bruch
> [mm]1/(x-x^2).[/mm]
> Da kommt dann ja der ln mit Betrag drin vor und x muss
> größer als 1 sein.
>
> Wenn ich dann beide Seiten mit e berechne komme ich aber
> auf das falsche Ergebnis.
>
> Habe ich da evtl. Rechenregeln nicht korrekt befolgt?
Tja, ohne Deine Rechnungen werden wir das nie erfahren
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:09 Mi 03.10.2018 | | Autor: | StudMWT |
Hier nun mein erster Rechenweg. mit der e-Funktion bekomme ich den ln ja weg, aber dennoch komme ich nicht weiter (oder gar auf das korrekte Ergebnis).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:04 Do 04.10.2018 | | Autor: | fred97 |
Du schreibst
[mm] $\ln (|\frac{1}{x}-1|)=t$
[/mm]
Dabei hast Du die Integrationskonstante vergessen. Richtig ist
(*) [mm] $\ln (|\frac{1}{x}-1|)=t+c$.
[/mm]
Nun solltest Du die Anfangsbedingung x(0)=2 ins Spiel bringen:
es ist [mm] \frac{1}{x(0)}-1= -\frac{1}{2}<0. [/mm] Daher wird aus (*):
[mm] $\ln (1-\frac{1}{x})=t+c$.
[/mm]
Mit x(0)=2 bekommt man $c=- [mm] \ln [/mm] 2$, also
[mm] $\ln (1-\frac{1}{x})=t-\ln [/mm] 2$.
Wenn Du die letzte Gl. nach x auflöst, solltest Du das korrekte Ergebnis bekommen.
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