Anfangswertaufgabe 2.ordnung < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Di 15.08.2006 | | Autor: | noidea44 |
| Aufgabe | a.) Formen SIe die Anfangswertaufgabe 2.Ordnung y''+59y'-60y=t
y(0)=0 und y'(0)=1 in ein System 1.Ordnung um.
b.)Führen Sie für dieses System 1.Ordnung einen Schritt des impliziten Euler Verfahrens mit der Schrittweite h=0.1 durch.
c:) warum ist diese DGL eine " steife DGL"? |
Hallo zusammen!!
Also ich weiß bei dieser Aufgabe eigentlich überhaupt nicht, wie ich ansetzen soll. Ich wollte zuerst bei teil a , y'', y' und y ersetzen durch eine Hilfsvariable.
Kann dann aber nicht weiterrechnen , weil ich bisher noch keine DGL 's gelöst habe.
Kann mir bitte jemand weiterhelfen? Ich komme wirklich nicht mehr weiter.
Danke!
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Bei dem Reduktionstrick, wie unser Prof es nannte, wird diese eindimensionale GDL 2. Ordnung in eine zweidimensionale DGL 1. ORdnung überführt. (Funktioniert aber auch mit höheren Dimensionen / Ordnungen)
Du setzt an:
[mm] $z_1=y$
[/mm]
[mm] $z_2=y'$
[/mm]
Nun kannst du ableiten:
[mm] $z_1'=y'=z_2$
[/mm]
[mm] $z_2'=y''=t+60z_1-59z_2$ [/mm] <- aus der gegebenen DGL!
Somit hast du nun eine inhomogene DGL 1. Ordnung:
[mm] $\vec z'=\pmat{ 0 & 1 \\ 60 & -59 }\vec [/mm] z + [mm] \vektor{0 \\ t}$
[/mm]
kannst du jetzt das implizite Eulerverfahren anwenden?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Di 15.08.2006 | | Autor: | noidea44 |
Hallo Event_Horizon!
Dank dir est ein mal für die Antwort!
Ich habe zwar die Formel für das implzite Euler-Verfahren:
y'=[mm] A*\vec y + \vec b(t) = \vec f(t,\vec y) [/mm]
[mm]\vec \Phi_{n+1}=\vec \Phi + (A* \Phi_{n+1} + \vec b(t_n)[/mm]
Leider kann ich damit nichts anfangen. Kannst du mir einen Tipp geben?
LG
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Also, du hast
y'=f(y)
f ist eine Funktion, die ist meist gegeben und ist meine letzte Formel oben
Jetzt diskretisiert:
[mm] $y'=\bruch{y_{i+1}-y_i}{h}$
[/mm]
Wenn du jetzt
[mm] $f(y_i)=\bruch{y_{i+1}-y_i}{h}$
[/mm]
nach [mm] $y_{i+1}$ [/mm] auflöst, hast du das explizite Euler-Verfahren da stehen. Das ist das einfachste Verfahren, ist aber nicht so gut. Besser ist das implizite Verfahren, bei dem nicht [mm] $f(y_i)$ [/mm] sondern [mm] $f(y_{i+1})$ [/mm] verwendet wird.
Schreib das erstmal hin.
Als f(y) schreibst du dann die Vektorfunktion aus meinem ersten Posting da hin, und wendest [mm] $\vec z_{i+1}$ [/mm] darauf an. Dann mußt du versuchen, die Gleichung nach [mm] \vec{z_{i+1}} [/mm] aufzulösen, also explizit zu machen.
Das war es dann schon. Die Anfangswerte [mm] \vec{z_0} [/mm] sind gegeben, die setzt du ein, und berechnest daraus [mm] \vec{z_1}.
[/mm]
Aber frag mich nicht, was ne steife DGL ist!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:09 Mi 16.08.2006 | | Autor: | noidea44 |
Hallo Event_Horizon.
Ich werde erstmal damit rechnen und mal schauen wie weit ich komme.
Die Sache mit der Steifigkeit werde ich noch mal versuchen in der Literatur l zu finden.
Jedenfalls , danke für die ausführliche und schnelle Antwort !
LG
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