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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Anfangswertaufgabe!?
Anfangswertaufgabe!? < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Anfangswertaufgabe!?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:30 So 15.11.2009
Autor: andi7987

Aufgabe
Lösen Sie die folgende Anfangswertaufgabe durch Variation der Konstanten:

xy´- y = [mm] x^{2} [/mm] * cos x , [mm] y(\pi) [/mm] = [mm] 2\pi [/mm]

Bitte um Hilfe bei diesem Beispiel! Komme damit nicht klar! Soll ich hier mal die Variablen separieren? y und x auf jeweils eine Seite bringen?

        
Bezug
Anfangswertaufgabe!?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:44 So 15.11.2009
Autor: MathePower

Hallo Andi7987,

> Lösen Sie die folgende Anfangswertaufgabe durch Variation
> der Konstanten:
>  
> xy´- y = [mm]x^{2}[/mm] * cos x , [mm]y(\pi)[/mm] = [mm]2\pi[/mm]
>  Bitte um Hilfe bei diesem Beispiel! Komme damit nicht
> klar! Soll ich hier mal die Variablen separieren? y und x
> auf jeweils eine Seite bringen?


Löse zunächst die homogene DGL

[mm]x*y'-y=0[/mm]

Dann kannst Du mit Hilfe der Variation der Konstanten,
eine partikuläre Lösung der DGL

[mm]x*y'-y=x^{2}*\cos\left(x\right)[/mm]

bestimmen.

Dazu machst Du die Konstante in der
homogenen Lösung [mm]y_{h}[/mm] von x abhängig.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Anfangswertaufgabe!?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:57 So 15.11.2009
Autor: andi7987

Vielen lieben Dank für deine Anregungen!

Ok, das heisst ich gehe mal so vor:

x*y´- y = 0

x * [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] - y = 0

[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{y}{x} [/mm]

Bin ich so noch auf dem richtigen Weg?

Dann weiter:

dy * x = y * dx

[mm] \bruch{dy}{y} [/mm] = [mm] \bruch{dx}{x} [/mm]

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{y} dy} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx} [/mm]

ln |y| = ln |x| + c

Oder ?

Bezug
                        
Bezug
Anfangswertaufgabe!?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:10 So 15.11.2009
Autor: MathePower

Hallo andi7987,


> Vielen lieben Dank für deine Anregungen!
>  
> Ok, das heisst ich gehe mal so vor:
>  
> x*y´- y = 0
>  
> x * [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] - y = 0
>  
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{y}{x}[/mm]
>  
> Bin ich so noch auf dem richtigen Weg?
>  
> Dann weiter:
>  
> dy * x = y * dx
>  
> [mm]\bruch{dy}{y}[/mm] = [mm]\bruch{dx}{x}[/mm]
>  
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{y} dy}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx}[/mm]
>  
> ln |y| = ln |x| + c
>  
> Oder ?


Bis hierhin stimmt's. [ok]


Gruss
MathePower

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Bezug
Anfangswertaufgabe!?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:23 So 15.11.2009
Autor: andi7987

Echt, danke für deine Hilfe!

Aber ich steh hier an! Weiß nicht, wie ich weitermachen soll?



Bezug
                                        
Bezug
Anfangswertaufgabe!?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:33 So 15.11.2009
Autor: MathePower

Hallo andi7987,

> Echt, danke für deine Hilfe!
>  
> Aber ich steh hier an! Weiß nicht, wie ich weitermachen
> soll?
>  
>  


Nun, die Lösung der homogenen DGL ist [mm]y_{h}=C*x[/mm]

Um jetzt eine partikuläre Lösung der DGL zu bestimmen,
setze an mit

[mm]y_{p}=C\left(x\right)*x[/mm]

Dies setzt Du jetzt in die inhomogene DGL ein,
und erhältst eine DGL zur Bestimmung von C.

[mm]x*y_{p}'-y_{p}=x^{2}*\cos\left(x\right)[/mm]

Hast Du diese Lösung bestimmt, dann ist

[mm]y\left(x\right)=C*x+y_{p}\left(x\right)[/mm]

die Lösung dieser DGL.

Um jetzt das C bestimmen zu können,
setzt Du die Anfangsbedingungen ein.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Anfangswertaufgabe!?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:46 So 15.11.2009
Autor: andi7987

Danke für deine Hilfestellung, aber komm ich da nicht weiter!?

Was fange ich jetzt mit dem ln |y|, etc. an? Usw.! :-(

Bezug
                                                        
Bezug
Anfangswertaufgabe!?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:54 So 15.11.2009
Autor: MathePower

Hallo andi7987,

> Danke für deine Hilfestellung, aber komm ich da nicht
> weiter!?
>  
> Was fange ich jetzt mit dem ln |y|, etc. an? Usw.! :-(


Nun, aus

[mm]ln |y| = ln |x| + c [/mm]

folgt

[mm]y=C*x[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
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Anfangswertaufgabe!?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:12 So 15.11.2009
Autor: andi7987

Danke für deine Hilfe!

Wie kommt man auf das?

Das aus ln|y| + c = ln|x| + c

das wird? y = c*x

Gibs dafür eine Erklärung?

Danke!

Bezug
                                                                        
Bezug
Anfangswertaufgabe!?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:28 So 15.11.2009
Autor: fencheltee


> Danke für deine Hilfe!
>  
> Wie kommt man auf das?
>  
> Das aus ln|y| + c = ln|x| + c

[mm] ln|y|+c_1=ln|x|+c_2 [/mm]

[mm] \gdw ln|y|=ln|x|+(c_2-c_1) [/mm]

[mm] \gdw ln|y|=ln|x|+c_3 [/mm]  auf beiden seiten [mm] e^{..} [/mm]

[mm] \gdw e^{ln|y|}=e^{ln|x|+c_3}=e^{ln|x|}*e^{c_3} [/mm]

[mm] \gdw |y|=|x|*e^{c_3} [/mm]

[mm] \gdw y=\pm x*e^{c_3} [/mm]

[mm] \gdw y=x*c_4 [/mm]

aus [mm] \pm e^c [/mm] wurde quasi c gemacht (denn beide können alle werte annehmen)

>  
> das wird? y = c*x
>  
> Gibs dafür eine Erklärung?
>  
> Danke!


Bezug
                                                                                
Bezug
Anfangswertaufgabe!?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:45 Mo 16.11.2009
Autor: andi7987

Vielen Dank für die super Erklärung!

Und das Ergebnis mit y = +- x * c

Ist das jetzt bereits das Endergebnis oder muss man jetzt noch was weitermachen bzw. wenn ja, was?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Anfangswertaufgabe!?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:47 Mo 16.11.2009
Autor: fred97

Bisher hast Du nur die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung !

FRED

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Anfangswertaufgabe!?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 Mo 16.11.2009
Autor: andi7987

Was muss ich hier dann noch weiter machen?

Könnt mir jemand so eine Art Schema zeigen, welche Teilschritte man jeweils beachten muss?

Das wär ein Hit!

Vielen Dank.

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Anfangswertaufgabe!?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:44 Mo 16.11.2009
Autor: fred97

Das hat Dir Mathepower geschrieben:

"Löse zunächst die homogene DGL

$ [mm] x\cdot{}y'-y=0 [/mm] $

Dann kannst Du mit Hilfe der Variation der Konstanten,
eine partikuläre Lösung der DGL

$ [mm] x\cdot{}y'-y=x^{2}\cdot{}\cos\left(x\right) [/mm] $

bestimmen.

Dazu machst Du die Konstante in der
homogenen Lösung $ [mm] y_{h} [/mm] $ von x abhängig."

FRED



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