Anfangswertaufgabe < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Fr 12.10.2007 | | Autor: | detlef |
Hallo,
ich habe die Anfangswertaufgabe y'(x) = y(x) -2x/y(x), y(1/2) = sqrt(2),
wie geht man am besten vor, um die Aufgabe zu lösen. Muss man erst die DGL lösen und dann die Konstante mit der Bedingung?
detlef
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Hallo!
Du hast recht. Zunächst mußt du die DGL lösen, dabei bekommst du eine allgemeine Lösung, die ein oder mehrere Parameter enthält.
Anschließend setzt du für x 0,5 ein, und für y(x), um so die Parameter zu bestimmen. Du hast nur eine Gleichung zur Bestimmung, daher kannst du auch nur einen Parameter festlegen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Sa 13.10.2007 | | Autor: | detlef |
ok und mit welchem verfahren würdest du die DGL lösen?
detlef
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Sa 13.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo detlev
mit y multiplizieren, dann [mm] y^2=z [/mm] dann hast du ne lin. Dgl für z
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 So 14.10.2007 | | Autor: | detlef |
wie löst man denn diese DGL dann, das habe ich noch nie gesehen, wie sowas gelöst wird..
die gleichung lautet doch dann:
0 = [mm] y^2-y'y-2x
[/mm]
solch eine art von dgl kenne ich nicht! kann mir jemand einen tipp geben?
detlef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 So 14.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
du liest zu schnell oder ungenau: ich hab gesagt, substituiere [mm] z=y^2! [/mm] z' an Kettenregel denken!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Mo 15.10.2007 | | Autor: | detlef |
hmm, das ist mir nicht ganz klar:
Ich habe ja diese Form hingeschrieben [mm] (0=Y^2-y'y-2x), [/mm] aber wie soll man dann auf diese Form kommen (y'+g(x)y = h(x)y'') Die enthält doch gar nicht den gemischten Term y'y ?!
Zu der Substitution:
[mm] z=y^2
[/mm]
+-sqrt(z) = y
-+1/2*z^(-1/2) = y'
detlef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Mo 15.10.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo Detlef,
> hmm, das ist mir nicht ganz klar:
>
> Ich habe ja diese Form hingeschrieben [mm](0=y^2-y'y-2x),[/mm] aber
> wie soll man dann auf diese Form kommen:
> [mm] (y'+\green{g(x)}y=\blue{h(x)}y^{\red{n}})
[/mm]
> Die enthält doch gar nicht den gemischten Term y'y ?!
soll sie ja auch nicht - ich habe aus den beiden Ableitungsstrichen wieder ein ^n gemacht.
[mm] 0=y^2-y'y-2x\quad \gdw\quad y'-y=-2\bruch{x}{y}
[/mm]
wir haben also mit:
[mm] y'+\green{-1}y=\blue{-2x}y^{\red{-1}}
[/mm]
genau die Form einer Bernoulli-DGL
> Zu der Substitution:
>
> [mm]z=y^2[/mm]
die Substitution kommt aus dem Ansatz [mm] z=y^{1-\red{n}}
[/mm]
damit ist [mm] z=y^{1-(\red{-1})}=y^2
[/mm]
> +-sqrt(z) = y
> -+1/2*z^(-1/2) = y'
du sollst aber nicht y ableiten, sondern z!
z'=..... <-- nach Kettenregel
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Fr 19.10.2007 | | Autor: | detlef |
sorry,
mir ist das noch nicht so klar, wieso muss man so eine Substitution machen?
detlef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Fr 19.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
man "muss" nicht, aber wenn man sie macht kommt man auf ne Differentialgleichung, die man lösen kann!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Di 30.10.2007 | | Autor: | detlef |
Dann ist doch z' = 2y oder nicht?
Ist das richtig?
detlef
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Mi 31.10.2007 | | Autor: | detlef |
Ich checke das nicht, wieso gibt es da noch eine innere Ableitung?
wenn ich [mm] x^2 [/mm] ableite, dann ist das doch auch nur 2x und nicht 2x*x'
?
detlef
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Hallo detlef,
es war doch [mm] $z(x)=y^2(x)=y(x)\cdot{}y(x)$
[/mm]
Das abgeleitet: [mm] $z'(x)=y'(x)\cdot{}y(x)+y(x)\cdot{}y'(x)=2y(x)\cdot{}y'(x)$
[/mm]
oder in Kurzschreibweise: $z'=2yy'$
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Mi 31.10.2007 | | Autor: | detlef |
ok und dann muss ich noch z'' bilden für y' oder?
oder wie geht es mit der Glecihung
y'-y=-2xy^(-1) weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo Detlef,
> ok und dann muss ich noch z'' bilden für y' oder?
nein, einfach für [mm] z'=\bruch{dz}{dx} [/mm] setzen, die ganze Gleichung mit 2y multiplizieren und dann deine Substitution einsetzen, Trennung der Variablen, fertig 
versuch es mal
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Mi 31.10.2007 | | Autor: | detlef |
Also ich möchte mal schreiben, wie ich das gelesen habe...
allgemeine Form von Bernoulli:
[mm] y'+g(x)*y+h(x)*y^a=0
[/mm]
Wenn man so eine Gleichung hat, dann soll man die mit
(1-a)*y^(-a) multiplizieren! Dann umformen und z=y^(1-a) setzen!
y'-y=-2*x*y^(-1)
und die Gleichung mit 2y multplizieren...
[mm] 2yy'-2y^2+4x=0
[/mm]
??
detlef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 Mi 31.10.2007 | | Autor: | detlef |
Ich komme dann auf die inhomogene DGL
z'-2*z+2*x=0
?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:11 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Herby |
Hi Detlef,
so passt das
> Ich komme dann auf die inhomogene DGL
>
> z'-2*z+2*x=0
>
> ?
lieber so:
[mm] z'-2z=-\red{4}x
[/mm]
und das ist ja nicht mehr schwer, oder?
So long
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Do 01.11.2007 | | Autor: | detlef |
Muss man ganz zum schluss erst die rücksubstitution machen, also wenn man z und z' hat?
detlef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Do 01.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du z hast hast du doch auch y, wozu also z'?
Wann ausser am Ende willst du denn y rauskriegen? Deshalb ist die Frage etwas undurchsichtig.
Gruss leduart.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Mi 31.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Detlev
Was bleibt noch für ne Frage, du hast ja alles richtig gemacht und jetzt ne inhomogene lineare Dgl. Was einfacheres gibts nicht mehr.
also lösen, erst die homogene, dann durch Raten oder Variation der Konstanten eine spezielle Lösung der inhomogenen fertig ist die allgemeine Lösg, dann Anfangswert, Konstante bestimmen.
hurra fertig!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:34 Do 01.11.2007 | | Autor: | detlef |
ja du hast recht, dumme frage!
danke detlef
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Bernoulli-DGL![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Da fehlt noch die innere Ableitung gemäß 
Kettenregel