Anfangsbedingungen 2 ODE < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Do 17.03.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Sei [mm] $k\ge [/mm] 0, [mm] \omega_{0} [/mm] > 0$ fest. Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung: [mm] $y''+2ky'+\omega_{0}^{2}y=0$ [/mm] zur Anfangsbedingung $y(0)=0$ und [mm] $y'(0)=v_{0} (v_{0} \in \IR)$ [/mm] . |
Hallo,
Es gibt 3 Fälle:
1. Ist die Diskriminante > 0 gilt: [mm] $y(x)=C_{1}e^{\lambda_{1}x}+C_{2}e^{\lambda_{2}x}$
[/mm]
und mit den Anfangsbedingungen $y(0)=0$ und [mm] $y'(0)=v_{0}$ [/mm] komme ich auf [mm] $C_{1}= -\frac{-v_{0}}{-\lambda_{1}+\lambda_{2}}$ [/mm] und [mm] $C_{2}=\frac{v_{0}}{-\lambda_{1}+ \lambda_{2}}$ [/mm]
2. die Diskriminante = 0 gilt:
[mm] $y(x)=C_{1}e^{-kx}+C_{2}xe^{-kx}$
[/mm]
und mit den Anfangsbedingungen $y(0)=0$ und [mm] $y'(0)=v_{0}$ [/mm] komme ich auf [mm] $C_{1}=-C_{2}$ [/mm] und [mm] $v_{0}=0$ [/mm]
3. die Diskriminante < 0 gilt:
[mm] $y(x)=e^{ax}(C_{1}cos(bx)+C_{2}sin(bx))$
[/mm]
und mit den Anfangsbedingungen $y(0)=0$ und [mm] $y'(0)=v_{0}$ [/mm] komme ich auf [mm] $C_{1}=0$ [/mm] und [mm] $C_{2}=\frac{v_{0}}{b}$
[/mm]
Stimmt das so?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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Hallo kuskush,
> Sei [mm]k\ge 0, \omega_{0} > 0[/mm] fest. Bestimmen Sie die Lösung
> der Differentialgleichung: [mm]y''+2ky'+\omega_{0}^{2}y=0[/mm] zur
> Anfangsbedingung [mm]y(0)=0[/mm] und [mm]y'(0)=v_{0} (v_{0} \in \IR)[/mm] .
> Hallo,
>
> Es gibt 3 Fälle:
>
> 1. Ist die Diskriminante > 0 gilt:
> [mm]y(x)=C_{1}e^{\lambda_{1}x}+C_{2}e^{\lambda_{2}x}[/mm]
>
> und mit den Anfangsbedingungen [mm]y(0)=0[/mm] und [mm]y'(0)=v_{0}[/mm] komme
> ich auf [mm]C_{1}= -\frac{-v_{0}}{-\lambda_{1}+\lambda_{2}}[/mm] und
> [mm]C_{2}=\frac{v_{0}}{-\lambda_{1}+ \lambda_{2}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 2. die Diskriminante = 0 gilt:
>
> [mm]y(x)=C_{1}e^{-kx}+C_{2}xe^{-kx}[/mm]
>
> und mit den Anfangsbedingungen [mm]y(0)=0[/mm] und [mm]y'(0)=v_{0}[/mm] komme
> ich auf [mm]C_{1}=-C_{2}[/mm] und [mm]v_{0}=0[/mm]
Das musst Du nochmal nachrechnen.
>
> 3. die Diskriminante < 0 gilt:
>
> [mm]y(x)=e^{ax}(C_{1}cos(bx)+C_{2}sin(bx))[/mm]
>
> und mit den Anfangsbedingungen [mm]y(0)=0[/mm] und [mm]y'(0)=v_{0}[/mm] komme
> ich auf [mm]C_{1}=0[/mm] und [mm]C_{2}=\frac{v_{0}}{b}[/mm]
>
> Stimmt das so?
>
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
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> Danke und Gruss
>
> kushkush
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:46 Do 17.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Mathepower,
>daumenhoch
> rechne nochmal nach
[mm] $y(x)=C_{1}e^{-kx}+C_{2}xe^{-kx}$
[/mm]
[mm] $y'(x)=-kC_{1}e^{-kx}+C_{2}e^{-kx}-kC_{2}xe^{-kx}$
[/mm]
also mit y(0)=0 und y'(0)=0 folgt [mm] $C_{1}=0$ [/mm] und [mm] $C_{2}=v_{0}$... [/mm] richtig?
> daumenhoch
> Gruss
Danke!
Gruss
kushkush
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Hallo kuskkush,
> Hallo Mathepower,
>
> >daumenhoch
>
>
> > rechne nochmal nach
>
> [mm]y(x)=C_{1}e^{-kx}+C_{2}xe^{-kx}[/mm]
> [mm]y'(x)=-kC_{1}e^{-kx}+C_{2}e^{-kx}-kC_{2}xe^{-kx}[/mm]
>
> also mit y(0)=0 und y'(0)=0 folgt [mm]C_{1}=0[/mm] und
> [mm]C_{2}=v_{0}[/mm]... richtig?
>
Ja.
>
> > daumenhoch
>
>
> > Gruss
>
> Danke!
>
>
> Gruss
>
> kushkush
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:49 Do 17.03.2011 | | Autor: | kushkush |
> daumenhoch
>Gruss
Danke
Gruss
kushkush
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