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| Aufgabe | Aufgabenstellung:
Gegeben sei ein Punkt C(0|3|4)
Analytische Geometrie:
a.) Lässt man den Ortsvektor von C um die x1-Achse rotieren, so entsteht eine Rotationsfigur. Welche Form und welchen Flächeninhalt hat diese Figur?
b.) Lässt man den Ortsvektor von C um die x3-Achse rotieren, so entsteht ein Rotationskörper in Form eines Kegels. Berechnen Sie sein Volumen.
c.) Durch den Schnitt mit einer Ebene soll dieser Kegel 1 LE niedriger werden. Geben Sie die Gleichung einer geeigneten Ebene in Koordinatenform an.
Analysis:
d.) Stellen Sie eine Gleichung auf für eine lineare Funktion f, die den Ortsvektor von C enthält. Schränken Sie dann den Difinitionsbereich der Funktion f so ein, dass ihr Graph genau dem Ortsvektor von C entspricht.
e.) Lassen Sie den Funktionsgraphen nun an der x2-Achse rotieren und berechnen Sie das Volumen des so entstehenden Kegels mit Hilfe des Integrals über der Querschnittsfunktion.
f.) Nun sollen Höhe und Radius des Kegels so verändert werden, dass bei gleichlang bleibender Seitenkante s sein Volumen möglichst groß wird.
Welche Länge haben dann Radius und Höhe des Kegels?
Welches Volumen hat der Kegel dann? |
Eigene Idee:
Ok also bei der Aufgabe...
a.) wird durch den gegebenen Vektor ein Kreis gebildet um dessen Fläche zu berechnen muss ich den Vektor, der hier den Radius darstellt in eine der folgenden Formeln einsetzten:
A= [mm] Pi*r^2
[/mm]
bzw.
A= [mm] (Pi*d^2) [/mm] / 4
Könnte ich ich an dieser Stelle die LÄNGE des Vektors für r einsetzen? Sprich die Länge ist die Wurzel aus der Summe der Komponentenquadrate. So in etwa: Wurzel aus [mm] (0^2+3^2+4^2)
[/mm]
b.) um das Volumen des Kegels zu berechnen brauche ich die Höhe, den Radius und die Länge der Seite des Kegels.
Der Radius ist die Zahl 3, die ich dem Vektor entnehmen kann und der Vektor selbst stellt die Länge der Seite des Kegels dar. Was die Höhe betrifft so ist deren Länge um ein paar Einheiten kleiner als die Länge des Vektors. Soweit richtig, oder irre ich mich?
Auch hier stellt sich mir die Frage, wie ich den Vektor in die Formel einbetten soll.
c.) hier bin ich mir etwas unsicher. Ich soll eine Ebene finden, die den Kegel um eine Längeneinheit verkürzt, aber wie das?
d.) eine lineare Funktion ist doch nichts anderes als eine Gerade, nicht wahr? D.h. Ich muss eine Geradengleichung aufstellen mit einem Stützvektor und einem Richtungsvektor. Kann ich den Ortsvektor als Stütsvektor verwenden? Und wie soll ich das mit dem Difinitionsbereich machen?
e.) diesen Teil der Aufgabe kann ich leider Gottes nicht verstehen.
Welcher Funktionsgraph ist gemeint? Die Gerade aus d.)? Was ist in der Aufgabe genau gefordert?
f.) soll ich an dieser Stelle den Kegel aus e.) Strecken? Falls ja, dann wie genau?
Leser und Helfer,
ich muss eine Vorabi-Leistung halten und das ist die Übungsaufgabe dazu.
Es wäre mir sehr geholfen, wenn mir jemand genauesten, also Schritt für Schritt erklären könnte, wie man die Aufgaben löst und wie die jeweiligen Lösungen lauten.
Das würde mir u.a. als Selbstkontrolle dienen und so könnte ich bestmöglichst das Verfahren nachvollziehen können.
Ich bin nicht dumm, was Mathe betrifft, aber es sind oft die Verständigungsschwierigkeiten bzw. die komplizierten Lösungswege, die mir das Fach so fremd erscheinen lassen.
Ich kann sowieso nicht verstehen, weshalb man Sachverhalte immer so kompliziert und unüberschaubar zu lösen versucht, wenn es doch auch ganz einfach gehen kann.
Naja ich möchte an dieser Stelle jedem danken, der das überhaupt bis zum Ende gelesen hat und natürlich auch denen, die gewillt sind mir zu helfen.
Liebe Grüße
RobinAliasPuck
P.S.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Analytische-Geometrie-Analysis-Rotation%E2%80%8F
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=508545
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:07 Do 06.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Aufgabenstellung:
>
> Gegeben sei ein Punkt C(0|3|4)
>
> Analytische Geometrie:
>
> a.) Lässt man den Ortsvektor von C um die x1-Achse
> rotieren, so entsteht eine Rotationsfigur. Welche Form und
> welchen Flächeninhalt hat diese Figur?
>
> b.) Lässt man den Ortsvektor von C um die x3-Achse
> rotieren, so entsteht ein Rotationskörper in Form eines
> Kegels. Berechnen Sie sein Volumen.
>
> c.) Durch den Schnitt mit einer Ebene soll dieser Kegel 1
> LE niedriger werden. Geben Sie die Gleichung einer
> geeigneten Ebene in Koordinatenform an.
>
> Analysis:
>
> d.) Stellen Sie eine Gleichung auf für eine lineare
> Funktion f, die den Ortsvektor von C enthält. Schränken
> Sie dann den Difinitionsbereich der Funktion f so ein, dass
> ihr Graph genau dem Ortsvektor von C entspricht.
>
> e.) Lassen Sie den Funktionsgraphen nun an der x2-Achse
> rotieren und berechnen Sie das Volumen des so entstehenden
> Kegels mit Hilfe des Integrals über der
> Querschnittsfunktion.
>
> f.) Nun sollen Höhe und Radius des Kegels so verändert
> werden, dass bei gleichlang bleibender Seitenkante s sein
> Volumen möglichst groß wird.
>
> Welche Länge haben dann Radius und Höhe des Kegels?
>
> Welches Volumen hat der Kegel dann?
> Eigene Idee:
>
> Ok also bei der Aufgabe...
>
> a.) wird durch den gegebenen Vektor ein Kreis gebildet um
> dessen Fläche zu berechnen muss ich den Vektor, der hier
> den Radius darstellt in eine der folgenden Formeln
> einsetzten:
>
> A= [mm]Pi*r^2[/mm]
>
> bzw.
>
> A= [mm](Pi*d^2)[/mm] / 4
>
> Könnte ich ich an dieser Stelle die LÄNGE des Vektors
> für r einsetzen? Sprich die Länge ist die Wurzel aus der
> Summe der Komponentenquadrate. So in etwa: Wurzel aus
> [mm](0^2+3^2+4^2)[/mm]
nicht etwa, sondern genau und du kannst direkt [mm] r^2=3^2+4^2 [/mm] =25 einsetzen.
>
> b.) um das Volumen des Kegels zu berechnen brauche ich die
> Höhe, den Radius und die Länge der Seite des Kegels.
> Der Radius ist die Zahl 3, die ich dem Vektor entnehmen
> kann und der Vektor selbst stellt die Länge der Seite des
> Kegels dar. Was die Höhe betrifft so ist deren Länge um
> ein paar Einheiten kleiner als die Länge des Vektors.
> Soweit richtig, oder irre ich mich?
zeichne einen Schnitt des Kegels, dann sollte dir Herr Pythagoras helfen die Höhe zu bestimmen.
> Auch hier stellt sich mir die Frage, wie ich den Vektor in
> die Formel einbetten soll.
>
> c.) hier bin ich mir etwas unsicher. Ich soll eine Ebene
> finden, die den Kegel um eine Längeneinheit verkürzt,
> aber wie das?
die Höhe soll 1 kurzer werden. in welcher ebene liegt denn jetzt der Kreis, dass die Ebene senkrecht zu [mm] x_3 [/mm] ist ist dir klar, also Parallel zu ? und im Anstand h dazu, spater beim verkürzten Kegel h-1
> d.) eine lineare Funktion ist doch nichts anderes als eine
> Gerade, nicht wahr? D.h. Ich muss eine Geradengleichung
> aufstellen mit einem Stützvektor und einem
> Richtungsvektor. Kann ich den Ortsvektor als Stütsvektor
> verwenden? Und wie soll ich das mit dem Difinitionsbereich
Nein, du hast einen Vektor in der x2,x3 Ebene darin kannst du die Gerase als x3=m*x2 ausdrücken und wie in der x-y Ebene weiter machen.
x2 läuft dabei nur bis zum Ende deines Vektors, also von 0 bis 3 das ist das eingeschränkte Def-Gebiet.
später mehr, ich muss weg.
wieder da
> e.) diesen Teil der Aufgabe kann ich leider Gottes nicht
> verstehen.
> Welcher Funktionsgraph ist gemeint? Die Gerade aus d.)? Was
> ist in der Aufgabe genau gefordert?
genau, jetzt sollst du die Gerade um x2 rotieren lassen. Rotationskörper habt ihr sicher gehabt
> f.) soll ich an dieser Stelle den Kegel aus e.) Strecken?
> Falls ja, dann wie genau?
du sollst ihn so ändern, dass die Länge des Vektors (5) gleichbleibt, aber seine Steigung darf sich ändern, du musst also sehen, wie m von der länge abhängt, dann ddas Geradenstück mit diesem m wieder rotieren und davon das max. bestimmen
> Leser und Helfer,
>
> ich muss eine Vorabi-Leistung halten und das ist die
> Übungsaufgabe dazu.
> Es wäre mir sehr geholfen, wenn mir jemand genauesten,
> also Schritt für Schritt erklären könnte, wie man die
> Aufgaben löst und wie die jeweiligen Lösungen lauten.
> Das würde mir u.a. als Selbstkontrolle dienen und so
> könnte ich bestmöglichst das Verfahren nachvollziehen
> können.
> Ich bin nicht dumm, was Mathe betrifft, aber es sind oft
> die Verständigungsschwierigkeiten bzw. die komplizierten
> Lösungswege, die mir das Fach so fremd erscheinen lassen.
> Ich kann sowieso nicht verstehen, weshalb man Sachverhalte
> immer so kompliziert und unüberschaubar zu lösen
> versucht, wenn es doch auch ganz einfach gehen kann.
>
> Naja ich möchte an dieser Stelle jedem danken, der das
> überhaupt bis zum Ende gelesen hat und natürlich auch
> denen, die gewillt sind mir zu helfen.
Du hast gute vorarbeit geleistet, und da das ja deine Eigenleistung werden soll keine genaueren ausarbeitungen. nachfragen kannst du ja.
Gruss leduart
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