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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:22 Di 25.05.2010 | | Autor: | Toertel |
| Aufgabe | Gegeben sind die Ebenengleichungen
E: [mm] \vec{x}=\vektor{1 \\ 2 \\ 9} +r\vektor{-3 \\ 0 \\ 8} +s\vektor{4 \\ 5 \\ 2}
[/mm]
[mm] [\vec{x}-\vektor{2 \\ 7 \\ 19}]*\vektor{40 \\ -38 \\ 15}
[/mm]
E: 40x-38y+15z-99=0
a) Erläutern Sie die unterschiedlichen Darstellungsformen.
b) zeigen Sie, dass alle drei Gleichungen die selbe Ebene darstellen
c) Geben Sie die Gleichung einer zu E parallelen Ebene durch den Punkt P(1|2|3) an! |
Wollen die bei a) einfach nur wissen, dass die erste Gleichung die Parameterform der Ebene ist, die zweite die Normalenform und die dritte die Koordinatenform?, oder meint ihr man muss auch mehr dazu erläutern? Bzw. erklären, dass die Ebene bei der Parameterform durch zwei Richtungsvektoren der Ebene definiert ist, die Normalenform durch einen Orthogonalen Vektor auf der Ebene und die Koordinatenform durch die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ?
Bei b) und c) hänge ich komplett - liegt womöglich auch daran, dass a) bisher noch nicht ausreichend beantwortet ist.
Kann mir jemand bei den jeweiligen Ansätzen helfen ?
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:39 Di 25.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, ich denk, das musst du sagen, (es fehlt in deinem Text der Aufpunkt) wobei man die Koordinatenform auch einfach das ausgeführte skalarprodukt der Normalenform nennen kann.
in b) musst du dann wirklich zeigen, dass das dieselben Ebenen sind, also von 2 nach 3 einfach das Skalaprodukt ausführen, von 1 nach 2 oder 3 kannst du dir nen Weg aussuchen.
c) ist einfach, wenn du die Parameterform nimmst, einfach nen anderen Punkt und die gleichen Richtungsvektoren.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 Di 25.05.2010 | | Autor: | Toertel |
Mit Aufpunkt meinst du also den Stützvektor, der für die ersten beiden Ebendarstellungen natürlich auch wichtig ist ?, oder was genau ist der Aufpunkt?
b) und c) kommen bei mir nicht an. Hast du ein Rechenbeispiel, was es mir vielleicht verständlicher macht?
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Du musst wissen, wie du von der einen Form (z.B. Parameterform) in die andere kommst.
Beispiel:
4x + 2y + 3z = 12
Daraus ergeben sich die drei Punkte
[mm] P_{1} [/mm] (0/0/4) , [mm] P_{2} [/mm] (0/6/0) , [mm] P_{3} [/mm] (3/0/0)
Aus diesen Punkten kannst du die Ebene bilden:
E: [mm] \vektor{0 \\ 0\\4} [/mm] + s [mm] \vektor{0 \\ 6\\-4} [/mm] + t [mm] \vektor{3 \\ 0\\-4}
[/mm]
[mm] P_{1} [/mm] wurde dabei festgelegt. Die Richtungsvektoren ergeben sich jeweils aus der Differenz.
Rückumwandlung:
Aus E: [mm] \vektor{0 \\ 0\\4} [/mm] + s [mm] \vektor{0 \\ 6\\-4} [/mm] + t [mm] \vektor{3 \\ 0\\-4} [/mm] ist die Form ax + by + cz = d gesucht
Dazu nimmt man drei Punkte, die sich aus s=0, t=0 / s=1, t=0 / s=0, t=1 ergeben:
[mm] P_{1} [/mm] (0/0/4) , [mm] P_{2} [/mm] (0/6/0) , [mm] P_{3} [/mm] (3/0/0)
Somit erhält man:
3a = d
6b = d
4c = d
Das sind 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Somit kann eine Unbekannte willkürlich festgelegt werden.
Zum Bespiel: a = 4. Dann ist d =12 ; b = 2 und c = 3
Also: 4x + 2y + 3z = 12
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