Analyt. Geometrie mit Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Rambo |
| Aufgabe | Gegeben sind eine Ebene E und eine Gerade g durch Parameterdarstellung.
Bestimme eine Koordinatengleichung von E, den Schnittpunkt von g mit E sowie den Winkel zwischen g und E.
E: x = (1/0/0) + [mm] \lambda [/mm] (4/0/1) + [mm] \mu [/mm] (-1/2/1) ;
g: x = (0/1/0) + winkel ( p ) (2/1/3) |
Hallo, ich hoffe ihr könnt mir bei dieser Aufgabe helfen, es ist sehr wichtig!!bitte um hilfe!!
Vielen dank!
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Rambo,
> Gegeben sind eine Ebene E und eine Gerade g durch
> Parameterdarstellung.
> Bestimme eine Koordinatengleichung von E, den Schnittpunkt
> von g mit E sowie den Winkel zwischen g und E.
>
> E: x = (1/0/0) + [mm]\lambda[/mm] (4/0/1) + [mm]\mu[/mm] (-1/2/1) ;
> g: x = (0/1/0) + winkel ( p ) (2/1/3)
> Hallo, ich hoffe ihr könnt mir bei dieser Aufgabe helfen,
> es ist sehr wichtig!!bitte um hilfe!!
>
Was hast du dir denn bisher überlegt? Du solltest schon genau schreiben, wo dein Problem liegt. Um die Koordinatengleichung aufzustllen, gibt es verschiedene Möglichkeiten. Eine ist: Du bestimmst die Normalenform.
Einen Normalenvektor $ [mm] \vec{n} [/mm] $ der gesuchten Ebene erhältst du, indem Du mit beiden Richtungsvektoren jeweils das Skalarprodukt gleich Null setzt:
$ [mm] \vec{n} \cdot \vektor{4 \\ 0 \\ 1} [/mm] = 0 $ und $ [mm] \vec{n} \cdot \vektor{-1 \\ 2 \\ 1} [/mm] = 0 $
Mit Hilfe der Normalenform kannst du dann sehr einfach den Schnittpunkt bestimmen.
Gruß
Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Rambo |
soweit habe ich es schon ma geschafft.
als normalenform kommt dann bei mir folgendes raus:
-0,25 x1 - 0,625 x2 + x3
für n habe ich raus : (-0,25/-0,625/1)
ist das soweit richtig??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Mo 04.06.2007 | | Autor: | MarinaS |
Also dein Normalvektor ist richtig, du kannst aber besser ein vielfaches von Ihm nehmen, damit man schönerer Zahlen hat:
-2 [mm] x_{1} [/mm] - 5 [mm] x_{2} [/mm] + 8 [mm] x_{3} [/mm] = d
jetzt must du aber noch den Stützvektor P (1 / 0 / 0 ) einsetzten, damit du d bekommst:
d = -1
Also lautet die Koordinatengleichung
-2 [mm] x_{1} [/mm] - 5 [mm] x_{2} [/mm] + 8 [mm] x_{3} [/mm] = -1
den Winkel kannst du nun ganz leicht berechnen:
sin [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{|\vec{a}*\vec{n}|}{an}
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] = 24°
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Rambo |
ok mit dem vielfachen habe ich es versucht und es ist doch tatsächlich besser,da man so mit die bruchzahlen vermeidet!danke!
nur ich verstehe da smit der winkelberechnung noch nicht ganz.
der ansatz für den schnittpunkt von g mit E sieht bei mir folgendermaßen aus:
also wir müssen ja g in E einsetzen ,nur wie gehe ich da genau vor??
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:24 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Rambo |
kann mir noemand mehr weiterhelfen??
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Kroni |
> ok mit dem vielfachen habe ich es versucht und es ist doch
> tatsächlich besser,da man so mit die bruchzahlen
> vermeidet!danke!
>
> nur ich verstehe da smit der winkelberechnung noch nicht
> ganz.
>
> der ansatz für den schnittpunkt von g mit E sieht bei mir
> folgendermaßen aus:
>
> also wir müssen ja g in E einsetzen ,nur wie gehe ich da
> genau vor??
Du hast die Geradengleichung von g gegeben und die Koordinatenform von E.
Nun steht bei der Geradengleichung ein [mm] \vec{x} [/mm] davor.
Diesen kannst du dir vorstellen als [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}
[/mm]
In der Koordinatenform der Ebene steht ja auch das [mm] x_1-x_2.
[/mm]
Das setzt du dann einfach in die Koord.form ein, und löst dann mal nach dem Parameter auf.
LG
Kroni
>
> Vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Rambo |
Danke! und wie berechne ich dann den Winkel genau?
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
die Winkelbrechnung wurde dir schon von MarinaS richtig gezeigt:
Dieser Link zeigt es dir.
[mm] sin\alpha=\bruch{|\vec{a}\cdot{}\vec{n}|}{an}
[/mm]
mit [mm] \vec{a}: [/mm] Richtungsvektor der Geraden
[mm] \vec{n}: [/mm] Normalenvektor der Ebene.
Normalerweise nutz man zur Winkelbestimmung den Cosinus (s.h. Definition des Betrages des Skalarproduktes), aber hier nutz man den Sinus, da man ja den Winkel zwischen Gerade und Ebene berechnen will, und man mit dem Cosinus den Winkel zwischen Normalenvektor (der ja im 90° Winkel zur Ebene steht) und der Geraden bestimmen würde.
Um diese 90° wieder "geradezubügeln" nutzt man dann den Sinus.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Rambo |
wodurch muss ich denn teilen um den winkel zu errechnen??
was [mm] \vex{x} [/mm] und [mm] \vec{a} [/mm] ist das ist mir klar,aber was ist denn normal a und normal x??
Danke!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Kroni |
> wodurch muss ich denn teilen um den winkel zu errechnen??
>
> was [mm]\vex{x}[/mm] und [mm]\vec{a}[/mm] ist das ist mir klar,aber was ist
> denn normal a und normal x??
>
> Danke!!!
Du kannst das auch so schrieben: [mm] |\vec{x}| [/mm] . Sind also die Beträge der beiden Vektoren.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Rambo |
das habe ich noch nicht s oganz verstanden,wie lautet dann der erste schritt bzw. der ansatz??
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Kroni |
> das habe ich noch nicht s oganz verstanden,wie lautet dann
> der erste schritt bzw. der ansatz??
>
>
> Danke!
Hi.
Meinst du die Bestimmung des Schnittpunktes mit Hilfe des Einsetzverfahrens?
Nur nebenbei: Stelle doch bitte nächstemal einfach eine neue Frage, denn dann erscheint die Frage als Rot im Forum, und es gucken sich mehr Leute deine Frage an=)
Also. Deine Ebenengleichung wäre diese:
E: [mm] -2x_1-5x_2+8x_3=-1
[/mm]
Deine Geradengleichung schaut so aus:
g: [mm] \vec{x}=\vektor{0\\1\\0}+\lambda*\vektor{2\\1\\3}
[/mm]
Jetzt schreiben wir das um:
g: [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{0+2\lambda\\1+\lambda\\0+3\lambda}
[/mm]
Nun setzten wir für das [mm] x_1 [/mm] in die Ebenegleichung [mm] 2\lambda [/mm] ein, für [mm] x_2 1+\lambda [/mm] und für [mm] x_3 [/mm] einfach [mm] 3\lambda.
[/mm]
Dann hast du eine Gleichung mit einer Unbekannten (nämlich [mm] \lambda) [/mm] und dann kannst du nach [mm] \lambda [/mm] auflösen.
Dann hinterher den Wert für [mm] \lambda [/mm] in die Geradengleichung einsetzen und du hast den Schnittpunkt heraus.
LG
KRoni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Rambo |
habe das jetzt gemacht, aber bei mir kommen 3 verschiedene werte für lamda raus,aknn das sein:
-2 * 2 lamda = -1
-5 * 1 lamda = -1
8 * 3 lamda = -1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Kroni |
> habe das jetzt gemacht, aber bei mir kommen 3 verschiedene
> werte für lamda raus,aknn das sein:
>
> -2 * 2 lamda = -1
> -5 * 1 lamda = -1
> 8 * 3 lamda = -1
>
>
Hi, nein, die Rechnung geht so nicht.
Deine Ebene lautet:
E: [mm] -2x_1-5x_2+8x_3=-1
[/mm]
und deine Geradengleichung:
g: [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{0+2\lambda\\1+\lambda\\0+3\lambda}
[/mm]
Jetzt setzen wir für [mm] x_1 [/mm] das [mm] 2\lambda [/mm] ein:
[mm] -2*(2\lambda)-5*(1+\lambda)+8*(3\lambda)=-1
[/mm]
<=> [mm] -4\lambda-5-5\lambda+24\lambda=-1
[/mm]
<=> [mm] 15\lambda=4
[/mm]
<=> [mm] \lambda=4/15
[/mm]
Das ganze jetzt in die Geradengleichung einsetzten:
g: [mm] \vec{x}=\vektor{8/15\\19/15\\12/15} [/mm] und das setzten wir mal in die Ebenengleichung ein:
E: [mm] -2*8/15-5*19/15+8*12/15=\bruch{-16-95+96}{15}=-1 [/mm] und es passt.
LG
Kroni
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