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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:19 Di 03.03.2015 | | Autor: | OxOO1 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Grenzwert [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$ [/mm] |
Bei dieser Aufgabe habe ich definitv einen Fehler gemacht während der Klausur, dieser ist mir aber immerhin jetzt aufgefallen hoffe ich. Ich rechne mal vor wie ich den Grenzwert bestimmen würde:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1-x}{x^2} [/mm] = [mm] \frac{1-1-0}{0} [/mm] = [mm] \frac{0}{0}$.
[/mm]
Durch den Erhalt dieses unbestimmten Ausdrucks nutzen wir die Regel von L'Hospital und berechnen zuerst einmal die Ableitungen $f'(x)$ und $g'(x)$.
$f'(x) = [mm] e^x-1$
[/mm]
$g'(x) = 2x$
Jetzt berechnen wir:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{2x} [/mm] = [mm] \frac{0}{0}$
[/mm]
Wir erhalten wieder einen unbestimmten Ausdruck und wenden erneut L'Hospital an indem wir zuerst ein weiteres mal ableiten:
$f''(x) = [mm] e^x$
[/mm]
$g''(x) = 2$
Wir berechnen erneut:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\frac{e^x}{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$
[/mm]
Der Grenzwert liegt also bei [mm] $\frac{1}{2}$.
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Di 03.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie den Grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}[/mm]
>
> Bei dieser Aufgabe habe ich definitv einen Fehler gemacht
> während der Klausur, dieser ist mir aber immerhin jetzt
> aufgefallen hoffe ich. Ich rechne mal vor wie ich den
> Grenzwert bestimmen würde:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1-x}{x^2} = \frac{1-1-0}{0} = \frac{0}{0}[/mm].
>
> Durch den Erhalt dieses unbestimmten Ausdrucks nutzen wir
> die Regel von L'Hospital und berechnen zuerst einmal die
> Ableitungen [mm]f'(x)[/mm] und [mm]g'(x)[/mm].
>
> [mm]f'(x) = e^x-1[/mm]
> [mm]g'(x) = 2x[/mm]
>
> Jetzt berechnen wir:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{2x} = \frac{0}{0}[/mm]
>
> Wir erhalten wieder einen unbestimmten Ausdruck und wenden
> erneut L'Hospital an indem wir zuerst ein weiteres mal
> ableiten:
>
> [mm]f''(x) = e^x[/mm]
> [mm]g''(x) = 2[/mm]
>
> Wir berechnen erneut:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}[/mm]
>
> Der Grenzwert liegt also bei [mm]\frac{1}{2}[/mm].
Alles richtig
FRED
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