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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Di 03.03.2015 | | Autor: | OxOO1 |
| Aufgabe | | Für alle $x [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] mit $0 < |x| <1$ konvergiert die Reihe [mm] $\summe_{k=-1}^{\infinity} x^{2k-1}$. [/mm] Geben Sie ihre Summe in Abhängigkeit von $x$ an. |
So zu dieser Aufgabe habe ich in etwa die folgende Lösung aufgeschrieben.
[mm] $\summe_{k=-1}^{\infinity} x^{2k-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{x} \cdot \summe_{k=-1}^{\infinity} x^{2k} [/mm] = [mm] \frac{1}{x} \cdot \summe_{k=-1}^{\infinity} (x^2)^{k}$
[/mm]
Da die Reihe für alle $x [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] mit $0<|x|<1$ konvergiert, konvergiert diese auch für alle $x [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] mit [mm] $0<|x^2|<1$. [/mm]
Die obige Reihe ist eine geometrische Reihe, da [mm] $0<|x^2|<1$, [/mm] nun berechnen wir die Summe:
[mm] $\frac{1}{x} \cdot \summe_{k=0}^{\infinity} (x^2)^{k} [/mm] + [mm] (x^2)^{-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{x} \cdot (\frac{1}{1-x^2} [/mm] + [mm] \frac{1}{x^2})$
[/mm]
Alternativ habe ich dies nochmal ausmultipliziert, was mir aber nicht sehr sinnvoll erschien:
[mm] $\frac{\frac{1}{1-x^2}+\frac{1}{x^2}}{x}$
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Di 03.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Für alle [mm]x \in \mathbb{R}[/mm] mit [mm]0 < |x| <1[/mm] konvergiert die
> Reihe [mm]\summe_{k=-1}^{\infinity} x^{2k-1}[/mm]. Geben Sie ihre
> Summe in Abhängigkeit von [mm]x[/mm] an.
>
>
> So zu dieser Aufgabe habe ich in etwa die folgende Lösung
> aufgeschrieben.
>
> [mm]\summe_{k=-1}^{\infinity} x^{2k-1} = \frac{1}{x} \cdot \summe_{k=-1}^{\infinity} x^{2k} = \frac{1}{x} \cdot \summe_{k=-1}^{\infinity} (x^2)^{k}[/mm]
>
> Da die Reihe für alle [mm]x \in \mathbb{R}[/mm] mit [mm]0<|x|<1[/mm]
> konvergiert, konvergiert diese auch für alle [mm]x \in \mathbb{R}[/mm]
> mit [mm]0<|x^2|<1[/mm].
> Die obige Reihe ist eine geometrische Reihe, da [mm]0<|x^2|<1[/mm],
> nun berechnen wir die Summe:
>
> [mm]\frac{1}{x} \cdot \summe_{k=0}^{\infinity} (x^2)^{k} + (x^2)^{-1} = \frac{1}{x} \cdot (\frac{1}{1-x^2} + \frac{1}{x^2})[/mm]
>
> Alternativ habe ich dies nochmal ausmultipliziert, was mir
> aber nicht sehr sinnvoll erschien:
>
> [mm]\frac{\frac{1}{1-x^2}+\frac{1}{x^2}}{x}[/mm]
Alles richtig.
Es ist [mm] \frac{1}{x} \cdot (\frac{1}{1-x^2} [/mm] + [mm] \frac{1}{x^2})= \frac{1}{x^3(1-x^2)}
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:27 Di 03.03.2015 | | Autor: | OxOO1 |
Vielen Dank fred, langsam beschleicht mich das Gefühl das es wohl Flüchtigkeitsfehler waren die es mir diesmal vermasselt haben.
Ich mache weiter mit der Aufgabe 3 und meiner Lösung.
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