Analysis Aufgaben Korrektur 2 < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 2) Zeigen Sie, dass für 3 Mengen A,B,C [mm] gilt\\
[/mm]
[mm] $(A\cap B)\setminus C=(A\setminus C)\cap(B\setminus C)$\\ [/mm]
[mm] $A\setminus(A\setminus B)=A\cap [/mm] B$
Zeichnen Sie außerdem ein Venndiagramm |
2) [mm] $x\in (A\cap B)\setminus C\\
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x\in (A\cap B)\wedge \neg (x\in C)\\
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow (x\in [/mm] A [mm] \wedge x\in B)\wedge \neg (x\in C)\\
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow (x\in [/mm] A [mm] \wedge \neg (x\in C))\wedge (x\in [/mm] B [mm] \wedge \neg (x\in C))\\
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x\in (A\setminus C)\wedge x\in (B\setminus C)\\
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x\in (A\setminus C)\cap(B\setminus C)$\\
[/mm]
[mm] q.e.d.\\\\
[/mm]
[mm] $A\setminus (A\setminus B)=A\cap$
[/mm]
[mm] $(\overline{A\cap\overline{B}})=A\cap(\overline{A}\cup\overline{\overline{B}})$\\
[/mm]
[mm] $=A\cap(\overline{A}\cup B)=(A\cap \overline{A})\cup (A\cap B)\\
[/mm]
[mm] =\emptyset\cup (A\cap B)=A\cap [/mm] B$ [mm] \\
[/mm]
Dies benutzt das De Morgansche Gesetz [mm] $\overline{A\stackrel{\cup}\cap B}=\overline{A}\stackrel{\cap}\cup \overline [/mm] {B}$ [mm] \\und [/mm] das Distributivgesetz [mm] $A\stackrel{\cup}\cap (B\stackrel{\cap}\cup C)=(A\stackrel{\cup}\cap B)\stackrel{\cap}\cup (A\stackrel{\cup}\cap C)$\\
[/mm]
[mm] q.e.d.\\
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Fällt euch was auf, das falsch ist? Auch Tippfehler gerne sagen
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Zu der 2. ist es glaube ich hübscher (zum lernen) die linke Seite auf die Quantoren herunterzubrechen.
[mm] $x\in [/mm] A [mm] \backslash [/mm] ( A [mm] \backslash [/mm] B )$
[mm] $\gdw x\in A\wedge x\notin [/mm] (A [mm] \backslash [/mm] B)$
[mm] $\gdw x\in A\wedge \neg (x\in (A\backslash [/mm] B))$
[mm] $\gdw x\in A\wedge \neg (x\in A\wedge x\notin [/mm] B)$
[mm] $\gdw x\in A\wedge (x\notin A\vee x\in [/mm] B)$
[mm] $\gdw(x\in A\wedge x\notin A)\vee (x\in A\wedge x\in [/mm] B)$
[mm] $\gdw x\in A\wedge x\in [/mm] B$
[mm] $\gdw x\in A\cap [/mm] B$
Erfordert dieser Beweis etwas, das erst noch bewiesen werden müsste? gerade
[mm] $x\in A\wedge (x\notin A\vee x\in [/mm] B)$
[mm] $\gdw(x\in A\wedge x\notin A)\vee (x\in A\wedge x\in [/mm] B)$ müsste ich glaube erst geklärt werden oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:45 Fr 28.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sinnlos123!
> Zu der 2. ist es glaube ich hübscher (zum lernen) die
> linke Seite auf die Quantoren herunterzubrechen.
Man bezeichnet [mm] $\wedge$, $\vee$ [/mm] und [mm] $\neg$ [/mm] üblicherweise als Junktoren.
Unter Quantoren versteht man [mm] $\exists$ [/mm] und [mm] $\forall$.
[/mm]
> [mm]x\in A \backslash ( A \backslash B )[/mm]
> [mm]\gdw x\in A\wedge x\notin (A \backslash B)[/mm]
>
> [mm]\gdw x\in A\wedge \neg (x\in (A\backslash B))[/mm]
> [mm]\gdw x\in A\wedge \neg (x\in A\wedge x\notin B)[/mm]
>
> [mm]\gdw x\in A\wedge (x\notin A\vee x\in B)[/mm]
> [mm]\gdw(x\in A\wedge x\notin A)\vee (x\in A\wedge x\in B)[/mm]
>
> [mm]\gdw x\in A\wedge x\in B[/mm]
> [mm]\gdw x\in A\cap B[/mm]
Schön! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Erfordert dieser Beweis etwas, das erst noch bewiesen
> werden müsste?
Ich würde sagen, es ist hier eine Geschmacksfrage, wie detailliert man die Begründungen führen will.
Hängt natürlich auch davon ab, was an aussagenlogischen Regeln aus der Vorlesung bekannt ist.
(Übrigens ist es, wenn man irgendetwas näher begründen möchte/muss, meist schneller, gar nicht erst mit Äquivalenzpfeil-Ketten zu arbeiten, sondern beide Inklusionen (Teilmengenbeziehungen) getrennt zu überlegen.)
> gerade
> [mm]x\in A\wedge (x\notin A\vee x\in B)[/mm]
> [mm]\gdw(x\in A\wedge x\notin A)\vee (x\in A\wedge x\in B)[/mm]
> müsste ich glaube erst geklärt werden oder?
Das folgt aus der Aussagenlogischen Regel [mm] $C\wedge(D\vee E)\iff (C\wedge D)\vee (C\wedge [/mm] E)$ für alle Aussagen C, D und E (bekannt als ein Distributivgesetz der Aussagenlogik).
Beweis dieser Regel:
Gelte zunächst [mm] $C\wedge(D\vee [/mm] E)$. (Zu zeigen ist [mm] $(C\wedge D)\vee (C\wedge [/mm] E)$.)
Dann gelten C und [mm] $D\vee [/mm] E$.
1. Fall: Es gilt D. Dann gilt [mm] $C\wedge [/mm] D$ und damit auch [mm] $(C\wedge D)\vee(C\wedge [/mm] E)$.
2. Fall: Es gilt E. Dann gilt [mm] $C\wedge [/mm] E$ und damit auch [mm] $(C\wedge D)\vee(C\wedge [/mm] E)$.
Gelte nun umgekehrt [mm] $(C\wedge D)\vee (C\wedge [/mm] E)$. (Zu zeigen ist [mm] $C\wedge (D\vee [/mm] E)$.)
1. Fall: [mm] $C\wedge [/mm] D$. Dann gelten C und D. Wegen D insbesondere [mm] $D\vee [/mm] E$. Damit erhalten wir [mm] $C\wedge(D\vee [/mm] E)$.
2. Fall: [mm] $C\wedge [/mm] E$. Dann gelten C und E. Wegen E insbesondere [mm] $D\vee [/mm] E$. Damit erhalten wir [mm] $C\wedge(D\vee [/mm] E)$.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Do 27.10.2016 | | Autor: | meili |
Hallo,
> 2) Zeigen Sie, dass für 3 Mengen A,B,C [mm]gilt\\[/mm]
> [mm](A\cap B)\setminus C=(A\setminus C)\cap(B\setminus C)[/mm][mm] \\[/mm]
> [mm]A\setminus(A\setminus B)=A\cap B[/mm]
>
> Zeichnen Sie außerdem ein Venndiagramm
>
>
> 2) [mm]$x\in (A\cap B)\setminus C\\[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow x\in (A\cap B)\wedge \neg (x\in C)\\[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow (x\in[/mm] A [mm]\wedge x\in B)\wedge \neg (x\in C)\\[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow (x\in[/mm] A [mm]\wedge \neg (x\in C))\wedge (x\in[/mm] B
> [mm]\wedge \neg (x\in C))\\[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow x\in (A\setminus C)\wedge x\in (B\setminus C)\\[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow x\in (A\setminus C)\cap(B\setminus C)$\\[/mm]
>
> [mm]q.e.d.\\\\[/mm]
> [mm]A\setminus (A\setminus B)=A\cap[/mm]
>
> [mm](\overline{A\cap\overline{B}})=A\cap(\overline{A}\cup\overline{\overline{B}})[/mm][mm] \\[/mm]
Für [mm] $A\setminus (A\setminus B)=A\cap(\overline{A\cap\overline{B}})$
[/mm]
fehlt eine Begründung
>
> [mm]$=A\cap(\overline{A}\cup B)=(A\cap \overline{A})\cup (A\cap B)\\[/mm]
>
> [mm]=\emptyset\cup (A\cap B)=A\cap[/mm] B$ [mm]\\[/mm]
> Dies benutzt das De Morgansche Gesetz
> [mm]\overline{A\stackrel{\cup}\cap B}=\overline{A}\stackrel{\cap}\cup \overline {B}[/mm]
> [mm]\\und[/mm] das Distributivgesetz [mm]A\stackrel{\cup}\cap (B\stackrel{\cap}\cup C)=(A\stackrel{\cup}\cap B)\stackrel{\cap}\cup (A\stackrel{\cup}\cap C)[/mm][mm] \\[/mm]
>
> [mm]q.e.d.\\[/mm]
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
Ein Bild zeigt Spezialfall $A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset$
[/mm]
>
> Fällt euch was auf, das falsch ist? Auch Tippfehler gerne
> sagen
>
Gruß
meili
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hi, ja du meinst das mit A ohne C und B ohne C (die grünen Kreise)
das war so nicht, gewollt,
gewollt war zu zeigen: es ist egal ob man erst C von beiden mengen wegnimmt, oder ob man C erst von beiden mengen einzeln wegnimmt und dann den durchschnitt macht.
wie soll man das sonst graphisch ohne worte klar machen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Sa 29.10.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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