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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 15:42 So 31.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallöle!
Zeigen Sie, dass es eine Folge [mm] $(I_n)_{n\in \IN}\subset [/mm] ]0,1[$ von offenen Intervallen gibt, so dass ihre Vereinigung [mm] $\bigcup_{n\in \IN}I_n\subset [/mm] ]0,1[$ alle rationalen Punkte in $]0,1[$ überdeckt und außerdem
(a) [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}{\mu_1(I_n)}\leq\frac{1}{2}$,
[/mm]
( (b) [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}{\mu_1(I_n)}\leq\frac{1}{c}, c\in \IR^{+}$ [/mm] )
gilt.
Dabei ist [mm] $\mu_1(M):=sup(M)-inf(M)$, [/mm] für ein offenes Intervall $]a,b[$ also genau $b-a$. [mm] ($\mu_1$ [/mm] wird auch als das Lebesgue-Maß bezeichnet).
Liebe Grüße und Viel Spaß!
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:19 Di 02.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho.
Hier mal zwei kleine Tips:
-> Die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar, insbesondere also auch diejenige Teilmengen rationaler Zahlen, die in ]0,1[ liegen. Somit kann jeder natürlichen eine rationale Zahl zugewiesen und diese mit ihr identifiziert werden.
-> Überlege, wie die Summe aller Intervalllängen kleiner als [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] bleiben kann, wenn es doch unendlich viele Intervalle gibt. Die Intervalllänge der rationalen Zahl n muss von n abhängig sein.
So, weiterhin viel Erfolg!
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Di 02.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Es ist natürlich unfair, wenn ich die Frage beantworte, weil ich so etwas Maßtheoretisches natürlich fast blind hinschreiben kann, aber wenn du jetzt schon Tipps geben musst, dann will ich die Frage mal schnell beantworten. 
Sei also [mm] $(q_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Abzählung der rationalen Zahlen aus $]0,1[$, dann definieren wir:
[mm] $I_n:= \left]q_n - \frac{1}{2^{n+2}}, q_n + \frac{1}{2^{n+2}} \right[ \cap [/mm] ]0,1[$.
Offenbar gilt dann:
[mm] $\bigcup_{n \in \IN} I_n \subset [/mm] ]0,1[$,
die Vereinigung überdeckt die Menge der rationalen Zahlen, und es gilt:
[mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \mu_1(I_n) \le \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n+1}} =\frac{1}{4} \cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} [/mm] = [mm] \frac{1}{4} \cdot [/mm] 2= [mm] \frac{1}{2}$.
[/mm]
Der allgemeine Fall geht über die Intervalle
[mm] $I_n:= \left]q_n - \frac{1}{c} \cdot\frac{1}{2^{n+1}}, q_n + \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{2^{n+1}} \right[ \cap [/mm] ]0,1[$.
Hoffentlich habe ich mich mit den Indizes nicht vertan...
Liebe Grüße
Stefan
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