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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:01 Fr 18.02.2005 | | Autor: | Porsinna |
Hey also ich hatte die Aufgabe die Funktion herauszufinden wo das lokale Maximum X=3 und das lokale Minimum X=6 ist!
ich habe durch eine Freundin schon mal das herausgefunden:
f´(x)=(x-3)*(x-6)=x²-9x+18
--> f(x)= 1/3*x³-4,5x²+18x
So jetzt hätte ich erstmal die Bitte dass mir jemand diesen Satz (Satz von Minimum und Maximum??) erklären kann ?!
Und zum Zweiten soll ich jetzt die Gleichung für lok. Max. x=6 und lok. Min. x=3 herausbekommen. Ich habe zwar die erste Ableitung ((x-3)*(-x+6))
und die dazu gehörige Gleichung(f(x)= -1/3*x³+4,5x²-18x) herausbekommen, kann das jetzt aber nicht mit Sätzen erklären?!
Könnte mir jemand mit dem Satz von Maximum und Minimum helfen und vielleicht auch noch mein 2.Problem lösen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:17 Fr 18.02.2005 | | Autor: | andi82 |
Ich schreibe dir die Lösung mit erklärung hin:
f(x)= 1/3*x³-4,5x²+18x ist die ausgangsfunktion (fkt.)
du leitest die fkt ab, damit du den Tangentenanstieg an jedem Punkt der ausgangsfkt. bekommst:f´(x)=x²-9x+18
jetzt weist du durch die ableitung, wie der Tangentenanstiege deiner FKT. an jedem punkt x aussieht. Daher an der Stelle des max. und des min einer fkt. der anstieg der Tangente 0 sein muss musst du deine Ableitung so aufstellen: f´(x)=0 <=> x²-9x+18=0hier wendest du die p/q formel an:
x12=-p/2 [mm] \pm \wurzel{ (p^{2}/4)-q} [/mm] dann kriegst du für x1=3 und für x2=6 raus. Dies sind deine Extrimalwerte Hochpunkt oder Tiefpunkt um genau sagen zu können, ob es ein HP oder TP ist bildest du f''(x)
f''(x) = 2·x - 9, dann setzt du für x 6 ein, und dann 3.
f''(6) = 2·6 - 9=3 da eine zahl größer 0 rauskommt ist x=6 ein TP
f''(3) = 2·3 - 9=-3 da eine zahl kleiner 0 rauskommt ist x=3 ein HP
dann f(6)=18 => TP(6,18); f(3)=22,5=>HP(3,22.5)
Und jetzt noch mal algemein:
f'(x)=0 Notwendige bedingung, damit Exrimastellen (min,max) existieren
f''(x) [mm] \not=0 [/mm] ist die Hinreichende Bedingung. bei f''(x)<0 HP f''(x)>0 TP
wenn f''(x)=0, dann ist es kein min oder max BSP: f(x)= [mm] x^{3}
[/mm]
Es ist nicht ganz einfach dieses Thema nur mit Text zu erklären und ich hoffe, das ich dich nicht noch mehr verwirrt habe. Noch ein Tipp: wenn ihr einen Mathelehrer habt, der kein Deutsch(sondern nur mathematisch) spricht wurde ich dir das Buch :Schulmathematik ISBN:3-423-03099-2 empfehlen, das hat mir oft geholfen.(10Euro)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:21 Fr 18.02.2005 | | Autor: | Youri |
Liebe Corinna!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich versuche mal, Dir die einzenen Schritte zu erklären...
> Hey also ich hatte die Aufgabe die Funktion herauszufinden
> wo das lokale Maximum X=3 und das lokale Minimum X=6 ist!
Du sollst das umgekehrte einer Kurvendiskussion machen.
Weißt Du denn, welche Bedingungen gelten müssen, damit eine Funktion ein Maximum oder ein Minimum hat?
Wenn Du Dir den Graphen vorstellst, das Bild der Funktion, ist das besondere in diesen Punkten, dass dort die Steigung "Null" ist, es also waagerechte Tangenten an den Graphen gibt.
Da man die Steigung einer Funktion mit ihrer ersten Ableitung berechnen kann (willst Du die Steigung in einem Punkt einer Funktion berechnen, bestimmst Du die erste Ableitung, setzt die x-Koordinate in die Ableitung ein, und das Ergebnis ist die Steigung in genau dem Punkt), gehst Du in diesem Fall den Umweg zu Deiner Funktion über die Ableitung.
Du weißt, die Ableitung Deiner gesuchten Funktion an der Stelle [mm] $x_1=3$ [/mm] und [mm] $x_2=6$ [/mm] jeweils Null ergibt.
> ich habe durch eine Freundin schon mal das
> herausgefunden:
> f´(x)=(x-3)*(x-6)=x²-9x+18
Ist Dir klar, wie man hierauf kommt?
Die einfachste Möglichkeit eine Funktion zu ermitteln, die die Nullstellen [mm] $x_1,...,x_n$ [/mm] auf jeden Fall hat, ist die folgende Vorgehensweise:
[mm] $g(x)=(x-x_1)*(x-x_2)*(x-x_3)*...*(x-x_n)$
[/mm]
Wenn Du Dir überlegst, dass ein Produkt Null wird, sobald ein Faktor Null ist, ist leicht einzusehen, dass wenn Du z.B. [mm] $x_3$ [/mm] in die Funktion einsetzt,
[mm] $g(x_3)=0$ [/mm] ist.
Soweit klar?
Damit kommt man also auf die Ableitung der gesuchten Funktion:
$ f'(x)=(x-3)*(x-6)=x²-9x+18$
Um zu überprüfen, ob es sich bei dem Punkt an der Stelle [mm] $x_1=3$ [/mm] tatsächlich um ein Maximum und an der Stelle [mm] $x_2=6$ [/mm] tatsächlich um ein Minimum handelt, musst Du die Überprüfung mit der zweiten Ableitung durchführen.
Notwendige Bedingung für einen Extrempunkt:
$f'(x)=0$
Hinreichende Bedingung:
[mm] $f''(x)\not=0$
[/mm]
Genauer: Ist die zweite Ableitung an der Stelle eines möglichen Extrempunktes kleiner Null, so liegt an der Stelle ein Maximum vor, ist umgekehrt die zweite Ableitung an der betreffenden Stelle größer Null, so liegt an dieser Stelle ein Minimum vor.
(Ausführliches zur Kurvendiskussion findest Du z.B. bei ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia)
Ich empfehle Dir auf jeden Fall mal die beiden Extremstellen auf ihre Richtigkeit bzgl. Max/Min. zu untersuchen...nur zur Übung.
> --> f(x)= 1/3*x³-4,5x²+18x
Ist Dir klar, wie man von der Ableitung auf die zugehörige Funktion kommt?
> So jetzt hätte ich erstmal die Bitte dass mir jemand
> diesen Satz (Satz von Minimum und Maximum??) erklären kann
Ich hoffe, das ist soweit klar geworden.
> Und zum Zweiten soll ich jetzt die Gleichung für lok. Max.
> x=6 und lok. Min. x=3 herausbekommen.
Im Prinzip ist die Aufgabe ja sehr ähnlich. Nur die Extremstellen sind vertauscht.
> Ich habe zwar die
> erste Ableitung ((x-3)*(-x+6))
> und die dazu gehörige Gleichung(f(x)= -1/3*x³+4,5x²-18x)
> herausbekommen, kann das jetzt aber nicht mit Sätzen
> erklären?!
Wie bist Du denn darauf gekommen? Oder war das wieder eine Gemeinschaftsarbeit? 
Wichtig ist, die Nullstellen der Ableitung bleiben gleich - das einzige was sich ändern muss, sind die Ergebnisse für die zweite Ableitung.
Es muss gelten
$g''(6)<0$
$g''(3)>0$
Die zweite Ableitung Deiner ersten Funktion war:
$f''(x)=2*x-9$
Wenn Du diese nun mit (-1) mulitplizierst - erhältst Du Deine gewünschten Werte...
Also - die zweite Ableitung Deiner zweiten Funktion ist:
$g''(x)= -2*x+9$
Welche Folgerungen kannst Du daraus für die erste Ableitung und die Originalfunktion ziehen?
Kommst Du jetzt weiter?
Wenn Du Fragen hast, melde Dich doch bitte...
Lieben Gruß,
Andrea.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Fr 18.02.2005 | | Autor: | Porsinna |
also ich habe alles verstanden bis auf eine KLeinigkeit:
warum kann ich bei meiner 2. Aufgabe die zweite Ableitung meiner ersten Funktion einfach so mit (-1) multiplizieren ?? (steckt da ein bestimmter Satz oder ähnliches dahinter??)
Ansonsten vielen Dank du hast mir sehr geholfen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Fr 18.02.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Porsinna
Die Ableitungsfunktion , die 2 Nullstellen hat ist richtig mit f'(x)=(x-6)*(x-3) aber auch f(x)=A*(x-6)*(x-3) hat dieselben Nullstellen, egal welche Zahl du für A einsetzest! Damit jetzt bei x=3 ein Maximum ist muß die 2. Ableitung negativ sein :f''(x)=A((2x-9) ; f''(3)=A*(-3) das ist negativ, wenn A positiv ist, Ihr habt A=1 gewählt, jede andere positive Zahl hät es auch getan. Wenn bei drei ein Minimum sein soll muß A negativ sein, damit A*(-3) positiv ist. Ihr habt A=-1 gewählt, wieder hätte es auch jede andere negative Zahl wäre auch gut! Unklarheit beseitigt?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 Fr 18.02.2005 | | Autor: | Osiris_AzN |
Es ist schon ganz richtig was schon gesagt wurde, aber noch nicht 100% korrekt...
1. Notwendige Bedingung: Ableitung ist Null: f'(x) = 0
2. Hinreichende Bedingung: es gilt (1.) und die zweite Ableitung ist nicht Null
ABER ???
Wie siehts aus mit [mm] f(x)=x^4 [/mm] ???
Bildet man die Ableitungen bekommt man:
f'(x) = [mm] 4x^3 [/mm] = 0 -> x0=0
f''(x)= [mm] 12x^2 [/mm] -> f''(0) = [mm] 12*0^2 [/mm] = 0
Wenn man nach dem oberen ausgehen würde hat diese Funktion keine Extremas, aber die Funktion hat ein Minimum an der Stelle x=0 !!!
und zwar geht man dies wie folg an:
f(x) = [mm] x^4
[/mm]
f'(x) = 4 [mm] x^3 [/mm] = 0 -> x0 = 0 (Notwendige Bedingung)
f''(x) = 12 [mm] x^2 [/mm] -> f''(0) = 0
f'''(x) = 24 x -> f'''(0) = 0
[mm] f^4(x) [/mm] = 24 -> [mm] f^4(0) [/mm] = 24 also ungleich null
Nach Definition:
[mm] f^m(x0) [/mm] < 0, m gerade -> Relatives Maximum
[mm] f^m(x0) [/mm] > 0, m gerade -> Relatives Minimum
Hier noch mal der Beweis für [mm] x^3 [/mm] das es keine E-Punkte gibt:
f(x)= [mm] x^3
[/mm]
f'(x) = [mm] 3x^2 [/mm] = 0 d.h. x0=0
f''(x) = 6x -> f''(xo)= 0
f'''(x) = 6 -> f'''(x0) = 6, also ungleich null, jedoch ist m = 3 und somit ungerade --> nach
Definition musst m aber gerade sein!
Bei [mm] f(x)=x^3 [/mm] existiert nur ein Wendepunkt an der Stelle x=0 und ein Sattelpunkt
ciao ciao
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