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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:24 Do 01.04.2004 | | Autor: | Sabi |
Gegeben ist die Funktion gt durch [mm] gt(x)=tx^4- (8x^2)/t, [/mm] tEIR*
a) Für welches t besitzt das Schaubild von gt zwei Hochpunkte?
b) Keines der Schaubilder hat einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente.
Wäre super dankbar für eine Lösung!
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Do 01.04.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Sabi,
wir rechnen nicht alles vor, aber wir helfen dir gerne. 
> Gegeben ist die Funktion gt durch [mm] gt(x)=tx^4- (8x^2)/t, [/mm]
> tEIR*
Also:
[mm]g_t(x) = tx^4 - \frac{8x^2}{t}[/mm]. (Stimmt das so?)
Für beide Aufgaben benötigen wir die ersten beiden Ableitungen. Es gilt:
[mm]g_t'(x) = 4tx^3 - \frac{16}{t}x[/mm],
[mm]g_t''(x) = 12tx^2 - \frac{16}{t}[/mm].
Wie lauten die Stellen, an denen eine waagerechte Tangente vorliegt? (Dies ist ein notwendiges Kriterium für einen Hochpunkt.)
Dazu müssen wir die Nullstellen von [mm]g_t'[/mm] berechnen, also die folgende Gleichung lösen:
[mm]0=g_t'(x) = 4tx^3 - \frac{16}{t}x = 4x \cdot (tx^2 - \frac{4}{t})[/mm].
Das schaffst du!
Anschließend schaust du dann, wann für diese kritischen Stellen die zweite Ableitung einen negativen Wert annimt (das ist dann ein hinreichendes Kriterium für Hochpunkte).
Klar ist: Wenn an der Stelle [mm]x[/mm] ein Hochpunkt ist, dann auch an der Stelle [mm]-x[/mm], da [mm]g_t[/mm] für alle [mm]t \in \mathbb{R}^*[/mm] achsensymmetrisch ist.
> b) Keines der Schaubilder hat einen Wendepunkt mit
> waagrechter Tangente.
Hier zeigst du, dass alle Nullstellen von [mm]g_t'[/mm] keine Nullstellen von [mm]g_t''[/mm] sind oder umgekehrt. (Ersteres geht aber schneller, weil du die Nullstellen von [mm]g_t'[/mm] ja oben schon berechnet hast.)
Versuche es mal und melde dich mit ersten Ergebnissen oder konkreten Fragen wieder. Wir helfen dir dann weiter...
Liebe Grüße
Stefan
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