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hallo an alle
Aufgabe 2
Die Fibonacci-folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN_{0}} [/mm] ist rekursiv definiert durch
[mm] a_{0}=0 [/mm] , [mm] a_{1}=1 [/mm] , [mm] a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}
[/mm]
Ermitteln sie mit Hilfe der Z-Transformation eine Funktion [mm] f:\IN_{0}\to\IR [/mm] mit der Eigenschaft [mm] f(n)=a_{n}
[/mm]
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ich bräuchte dabei dringend hilfe.danke an alle
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Ich weiß nicht, ob das dasselbe ist wie der Potenzreihenansatz. Aber da macht man das so: Man setzt
[mm]y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n[/mm]
Wenn man die ersten beiden Glieder aus der Summe herauszieht und die Rekursionsbeziehung anwendet, bekommt man
[mm]y = x + \sum_{n=2}^{\infty} \left( a_{n-1} + a_{n-2} \right) x^n = x + x \cdot \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n + x^2 \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = x + xy + x^2 y[/mm]
Löse die Gleichung nach [mm]y[/mm] auf und entwickle die Funktion [mm]y = f(x)[/mm] in eine Potenzreihe um den Nullpunkt (Partialbruchzerlegung). Ein Vergleich mit dem Ansatz liefert die Formel für [mm]a_n[/mm].
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