Alternierende Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 Do 08.04.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe hier folgende Reihe: [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^n
[/mm]
Das ist doch eine alternierende Reihe, oder?
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^n=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^n*1=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^n*a_n [/mm] mit [mm] a_n=1 [/mm] für alle n.
Diese Reihe soll nicht konvergieren.
Ich weiß nicht wie ich das zeigen soll.
Oft wendet man ja bei alternierenden Reihen das Leibnitz-Kriterium an, aber [mm] (a_n)=(1) [/mm] ist ja keine monoton fallende reelle Nullfolge, also kann ich das nicht benutzen, oder?
Oder divergiert eine gegebene alternierende Reihe, wenn [mm] (a_n) [/mm] keine monoton fallende reelle Nullfolge ist?
Ich hab auch mal das Quotientenkriterium versucht, aber da komme ich nur auf 1, also kann ich keine Aussage machen.
Wie kann ich sonst die Konvergenz dieser Reihe prüfen?
LG Nadine
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Hallo Nadine!
Es ist für die Reihenkonvergenz ein notwendiges Kriterium, dass [mm] $a_n$ [/mm] eine Nullfolge ist.
Ist dies für Deine Reihe erfüllt? Wenn nicht, folgt daraus unmittelbar die Divergenz.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Do 08.04.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Roadrunner!
> Es ist für die Reihenkonvergenz ein notwendiges Kriterium,
> dass [mm]a_n[/mm] eine Nullfolge ist.
Achso, also wenn eine Reihe konvergiert, dann muss die zugrunde liegende Reihe auf jeden Fall eine Nullfolge sein?
Also meine Reihe ist ja $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^n=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^n\cdot{}1=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^n\cdot{}a_n [/mm] $.
Muss ich jetzt nur [mm] (a_n)=(1) [/mm] betrachten, oder auch noch das [mm] (-1)^n?
[/mm]
> Ist dies für Deine Reihe erfüllt? Wenn nicht, folgt
> daraus unmittelbar die Divergenz.
Also [mm] (a_n)=(1) [/mm] ist keine Nullfolge.
Also divergiert die Reihe.
Richtig so?
LG Nadine
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Ich finde es völlig unangemessen, mit solch scharfen Geschützen auf diese harmlose Reihe loszugehen. Wieso schaust du dir nicht einfach die Partialsummen an. Das sagt doch schon alles ...
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Hallo Nadine!
> Achso, also wenn eine Reihe konvergiert, dann muss die
> zugrunde liegende Reihe Folge auf jeden Fall eine Nullfolge sein?
Siehe meine Korrektur im Text.
> Also meine Reihe ist ja
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^n=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^n\cdot{}1=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^n\cdot{}a_n [/mm].
>
> Muss ich jetzt nur [mm](a_n)=(1)[/mm] betrachten, oder auch noch das
> [mm](-1)^n?[/mm]
Beides zusammen.
> Also [mm](a_n)=(1)[/mm] ist keine Nullfolge.
>
> Also divergiert die Reihe.
>
> Richtig so?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß vom
Roadrunner
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> Also eine alternierende Reihe ist ja von der Form
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n*a_n.[/mm]
>
> Was ist nun die Folge, die der Reihe zugrunde liegt?
>
> Ist es [mm](-1)^n*a_n[/mm] oder ist es nur [mm]a_n[/mm] ?
>
> Weil eigentlich ist doch [mm]a_n[/mm] immer die Folgenvorschrift...
Hallo,
die der Reihe zugrundeliegende Folge ist [mm] (-1)^na_n.
[/mm]
Du hast allerdings erkannt, daß die Reihe alternierend ist, und die der alternierenden Reihe [mm] \summe(-1)^na_n [/mm] zugrundeliegende Folge ist [mm] a_n.
[/mm]
Und nach dem Leibnizkriterium mußt Du nun die Reihe [mm] a_n [/mm] einer genaueren Untersuchung unterziehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:08 Fr 09.04.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
> die der Reihe zugrundeliegende Folge ist [mm](-1)^na_n.[/mm]
Alles klar.
> Du hast allerdings erkannt, daß die Reihe alternierend
> ist, und die der alternierenden Reihe zugrundeliegende
> Folge ist [mm]\summe(-1)^na_n.[/mm]
Äh....
Wieso ist die der alternierenden Reihe zugrundeliegende Folge plötzlich die alternierende Reihe selbst ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> Und nach dem Leibnizkriterium mußt Du nun die Reihe [mm]a_n[/mm]
> einer genaueren Untersuchung unterziehen.
Leibnitz-Kriterium hab ich doch in meiner ersten Frage versucht, aber das ging ja nicht...
Zu dem Ansatz von Roadrunner:
Ich will prüfen, ob die der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n*1 [/mm] zugrunde liegende Folge eine Nullfolge ist.
Was ist die der Reihe zugrunde liegende Folge?
Ist es [mm] (-1)^n*1 [/mm] ?
Oder ist es nur 1?
Beides sind keine Nullfolgen, die eine ist und bleibt 1, die andere wechselt zwischen 0 und 1, von daher wärs egal.
Aber wissen würd ichs trotzdem gern, denn dieses Prinzip lässt sich ja bestimmt öfters anwenden.
LG Nadine
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> Hallo Angela!
>
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> > die der Reihe zugrundeliegende Folge ist [mm](-1)^na_n.[/mm]
>
> Alles klar.
>
>
>
> > Du hast allerdings erkannt, daß die Reihe [mm] \summe (-1)^na_n [/mm] alternierend
> > ist, und die der alternierenden Reihe zugrundeliegende
> > Folge ist [mm]\red{a_n}.[/mm]
>
> Äh....
>
> Wieso ist die der alternierenden Reihe zugrundeliegende
> Folge plötzlich die alternierende Reihe selbst
Ist korrigiert, das sollte natürlich [mm] a_n [/mm] heißen.
>
>
>
> > Und nach dem Leibnizkriterium mußt Du nun die Reihe [mm]a_n[/mm]
> > einer genaueren Untersuchung unterziehen.
>
> Leibnitz-Kriterium hab ich doch in meiner ersten Frage
> versucht, aber das ging ja nicht...
Ich habe mich auf keine konkrete Folge bezogen.
>
>
>
> Zu dem Ansatz von Roadrunner:
>
> Ich will prüfen, ob die der Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n*1[/mm] zugrunde liegende Folge eine
> Nullfolge ist.
>
> Was ist die der Reihe zugrunde liegende Folge?
>
> Ist es [mm](-1)^n*1[/mm] ?
>
> Oder ist es nur 1?
>
> Beides sind keine Nullfolgen, die eine ist und bleibt 1,
> die andere wechselt zwischen 0 und 1, von daher wärs
> egal.
>
> Aber wissen würd ichs trotzdem gern, denn dieses Prinzip
> lässt sich ja bestimmt öfters anwenden.
Du versteigst Dich gerade in absolute Nebensächlichkeiten.
Wirklich entscheidend ist, daß Du das Trivialkriterium kennen mußt:
[mm] \summe b_n [/mm] konvergiert ==> [mm] b_n [/mm] ist Nullfolge.
(Das ist ja auch so ziemlich das erste, was man über die Konvergenz von Reihen lernt.)
Darauf kommt es an, und das ist das Kriterium, welches hier verwendet wird.
Und wie Du selbst merkst, sind
[mm] "(-1)^na_n [/mm] ist Nullfolge" und [mm] "a_n [/mm] ist Nullfolge" äquivalente Aussagen, also ist es völlig schnuppe, was Du nun nimmst.
Gruß v. Angela
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>
>
> LG Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:59 Fr 09.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo Angela!
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> > die der Reihe zugrundeliegende Folge ist [mm](-1)^na_n.[/mm]
>
> Alles klar.
>
>
>
> > Du hast allerdings erkannt, daß die Reihe alternierend
> > ist, und die der alternierenden Reihe zugrundeliegende
> > Folge ist [mm]\summe(-1)^na_n.[/mm]
>
> Äh....
>
> Wieso ist die der alternierenden Reihe zugrundeliegende
> Folge plötzlich die alternierende Reihe selbst
>
>
>
> > Und nach dem Leibnizkriterium mußt Du nun die Reihe [mm]a_n[/mm]
> > einer genaueren Untersuchung unterziehen.
>
> Leibnitz-Kriterium hab ich doch in meiner ersten Frage
> versucht, aber das ging ja nicht...
>
>
>
> Zu dem Ansatz von Roadrunner:
>
> Ich will prüfen, ob die der Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n*1[/mm] zugrunde liegende Folge eine
> Nullfolge ist.
>
> Was ist die der Reihe zugrunde liegende Folge?
>
> Ist es [mm](-1)^n*1[/mm] ?
>
> Oder ist es nur 1?
>
> Beides sind keine Nullfolgen, die eine ist und bleibt 1,
> die andere wechselt zwischen 0 und 1, von daher wärs
> egal.
>
> Aber wissen würd ichs trotzdem gern, denn dieses Prinzip
> lässt sich ja bestimmt öfters anwenden.
>
>
>
> LG Nadine
Hallo,
die Partialsummenfolge [mm](\summe_{k=1}^{n}(-1)^n*1)[/mm] besitzt zwei Häufungspunkte.
[mm] s_1=-1
[/mm]
[mm] s_2=-1+1=0
[/mm]
[mm] s_3=-1+1-1=-1
[/mm]
[mm] s_4=-1+1-1+1=0
[/mm]
...
Damit kann sie nicht konvergieren.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:41 Fr 09.04.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Alles klar, ich denke, ich habs verstanden :)
LG Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Fr 09.04.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich hab doch noch eine kurze Frage.
In meinem Buch ist folgende Reihe eine alternierende Reihe: [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}*a_k
[/mm]
Bei ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia sehen alternierende Reihen wie folgt aus: [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n*a_n
[/mm]
Ist das nicht fest definiert, wie eine alternierende Reihe aussieht?
Bei den beiden Definitionen sind ja die Vorzeichen genau getauscht.
Einmal sind die ungeraden Summanden positiv und einmal die geraden.
Meine Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n [/mm] entspricht glaub ich eher der oberen Variante, wenn ich einen Indexshift durchführe, oder?
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}*a_k \rightarrow \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}*a_{k+1}
[/mm]
Ich hab immer riesengroße Schwierigkeiten, wenn die Notationen überall anders sind, das verwirrt mich dann immer alles total.
Kann vielleicht jemand ein bisschen entwirren?
LG Nadine
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Hallo Nadine!
Hoffentlich entwas Entwirrung Deinerseits ... 
Beide Defintionen sind quasi identisch. Man kann eine Version in die andere überführen, indem man schlicht und ergreifend $(-1)_$ ausklammert.
Ein derartiger konstanter Faktor verändert nichts an der Eigenschaft der Konvergenz u.ä.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Fr 09.04.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Roadrunner!
> Beide Defintionen sind quasi identisch. Man kann eine
> Version in die andere überführen, indem man schlicht und
> ergreifend [mm](-1)_[/mm] ausklammert.
>
> Ein derartiger konstanter Faktor verändert nichts an der
> Eigenschaft der Konvergenz u.ä.
Ok, das verstehe ich.
Aber trotzdem haben doch beide Definitionen immer noch genau gegensätzliche Vorzeichen.
Ist das egal?
LG Nadine
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Hallo Nadine!
> Aber trotzdem haben doch beide Definitionen immer noch
> genau gegensätzliche Vorzeichen.
>
> Ist das egal?
Letztendlich ja.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:26 Fr 09.04.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Roadrunner!
Vielen Dank für deine Antworten!
LG Nadine
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