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Alternierende Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:03 Sa 17.10.2009
Autor: pippilangstrumpf

Aufgabe
Unversuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} -1^{n }*\bruch{(n+1)^{n-1}}{n^{n}}. [/mm]

Ich weiß, dass es sich hierbei um eine alternierende Reihe handelt -> ich verwende das Leibnizkriterium.
Jetzt muss ich zeigen, dass die Folge eine Nullfolge ist.
Das ist verständlich. ->0 und ist Nullfolge.

Zur Monotonie: zu zeigen ist, dass [mm] \bruch{a_n+1}{a_n} [/mm] kleiner 1 ist. Allerdings habe ich hier Probleme mit dem Einsetzen bzw. auflösen...

Wer kann helfen? Danke.

        
Bezug
Alternierende Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 Sa 17.10.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Alexandra,

> Unversuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz:
>  [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \red{(}-1\red{)}^{n }\cdot{}\bruch{(n+1)^{n-1}}{n^{n}}$ [/mm]

Achtung, Klammern setzen!

>  
> Ich weiß, dass es sich hierbei um eine alternierende Reihe handelt [ok] -> ich verwende das Leibnizkriterium. [ok]
>  Jetzt muss ich zeigen, dass die Folge eine Nullfolge ist.
>  Das ist verständlich. ->0 und ist Nullfolge.

Ok, das solltest du aber (wenn es eine Übung ist, die du abgeben musst, kurz beweisen oder begründen!)

>  
> Zur Monotonie: zu zeigen ist, dass [mm]\bruch{a_n+1}{a_n}[/mm]

setze Indizes, Exponenten usw. mit mehr als 1 Zeichen in geschweifte Klammern {}

> kleiner 1 ist. Allerdings habe ich hier Probleme mit dem
> Einsetzen bzw. auflösen...

Na, schreib's doch einfach mal hin:

[mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+2)^n}{(n+1)^{n+1}}\cdot{}\frac{n^n}{(n+1)^{n-1}}=\left(\frac{n(n+2)}{(n+1)\cdot{}(n+1)}\right)^n=\left(\frac{n^2+2n}{n^2+2n+1}\right)^n$ [/mm] ...

Nun klar?

>  
> Wer kann helfen? Danke.

Ich hoffe, ich konnte ;-)

LG

schachuzipus

Bezug
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