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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Di 25.07.2006 | | Autor: | dump_0 |
Ich habe leider noch nie ein konkretes Beispiel für den Nachweis der Konvergenz einer alternierenden Reihe durchgeführt, deshalb würde ich gern wissen ob es folgend einfach so ausreicht:
Zum Beispiel nehmen wir mal die Reihe [mm] $s_n [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{(-1)^{k+1}}{k^2}$
[/mm]
Nach dem Leibnizkriterium muss gelten:
[mm] $|s_n [/mm] - s| [mm] \le a_{n+1}$
[/mm]
Das wäre also:
[mm] $|s_n [/mm] - s| = | [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{(-1)^{k+1}}{k^2} [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k+1}}{k^2} [/mm] | = | [mm] \summe_{k=n+1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k+1}}{k^2} [/mm] | [mm] \le \bruch{(-1)^{n+2}}{(n+1)^2}$
[/mm]
Naja wenn mans kurz anschaut ists klar das das gelten muss, aber reicht das denn schon aus um die Konvergenz dieser Reihe zu zeigen oder muss ich es noch genauer zeigen?
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Hallo,
du solltest dir das Leibniz-Kriterium nochmal genauer anschauen.
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Kriterium
Was du da zeigen willst, ist eine Folgerung des Kriteriums, die es erlaubt, den Grenzwert zu schätzen!
Gruß,
SirJective
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Di 25.07.2006 | | Autor: | dump_0 |
Hmm ok.
Also müsste ich eher zeigen, dass [mm] a_n [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist, also [mm] $a_{n+1} \le a_n$ [/mm] und $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] = 0$ ist und damit habe ich schließlich die Konvergenz der reihe nachgewiesen?
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Ja.
Modulo Vorzeichen ist bei dir [mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac{1}{n^2}$.
[/mm]
("Modulo Vorzeichen", weil bei dir eigentlich [mm] $a_n [/mm] = [mm] -\frac{1}{n^2}$ [/mm] ist. Aber wenn du die Konvergenz der negierten Reihe zeigst, folgt natürlich die Konvergenz der eigentlichen Reihe.)
Gruß,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:46 Di 25.07.2006 | | Autor: | dump_0 |
Ok, vielen Dank für deine Antworten, schon wieder etwas schlauer :)
Grüße
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