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| Aufgabe | 1)Gegeben sidn die Funktionenf [mm] (x)=x^4+kx^3 [/mm] mit einem Parameter k=IR.
Untersuche die Graphen der Funktionen f.
Zu Extrempunkten:(...Zitat aus dem Buch)
(die Funktion kann f nur an den Stellen 0 und -3/4k Extrempunkte haben.)
'Wir berechnen den Wert der zweiten Ableitung [mm] f''(x)=12x^2+6kx [/mm] an diesen Stellen:
Stelle -3/4k: Es ist [mm] f''(-3/4k)=9k^2/4.'
[/mm]
Aber wie komm ich auf [mm] 9k^2/4 [/mm] ?
2)Definitionsbereich ist entweder R oder IR,oder?Woher weiß ich welches das ist?
3)Eine Funktion f hat bei x=-2 eine Nullstelle und in E(1;3) einen Tiefpunkt.
Wie geht man an solche Aufgaben überhaupt ran?Ich hab jetzt zwear die Lösung aber man muss irgendwie die Informationen aus dem Text ziehen? Die erste Ableitung beschreibt immer die Steigung der Tangente? udn was machen die restlichen beiden? |
...
Hallo,
bitte um hilfe!
Gruß,
Tokhey-Itho
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Mi 17.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> 1)Gegeben sidn die Funktionenf [mm](x)=x^4+kx^3[/mm] mit einem
> Parameter k=IR.
> Untersuche die Graphen der Funktionen f.
>
> Zu Extrempunkten:(...Zitat aus dem Buch)
>
> (die Funktion kann f nur an den Stellen 0 und -3/4k
> Extrempunkte haben.)
>
> 'Wir berechnen den Wert der zweiten Ableitung
> [mm]f''(x)=12x^2+6kx[/mm] an diesen Stellen:
>
> Stelle -3/4k: Es ist [mm]f''(-3/4k)=9k^2/4.'[/mm]
>
> Aber wie komm ich auf [mm]9k^2/4[/mm] ?
Für die Funktionsuntersuchungen mit Parametern (hier k gelten die üblichen Regeln:
y-Achsenabschnitt: [mm] y=f_{k}(0)
[/mm]
Nullstellen [mm] x_{0}: f_{k}(x_{0})=0
[/mm]
Extremstellen [mm] x_{e}: [/mm]
Notwendiges Kriterium: [mm] f_{k}'(x_{e})=0
[/mm]
Hinreichendes Kriterium: [mm] f_{k}''(x_{e})>0 [/mm] (Tiefpunkt bei [mm] T(x_{e}/f_{k}(x_{e}))
[/mm]
[mm] f_{k}''(x_{e})<0 [/mm] (Hochpunkt bei [mm] H(x_{e}/f_{k}(x_{e}))
[/mm]
Wendestellen [mm] x_{w}: [/mm]
Notwendiges Kriterium: [mm] f_{k}''(x_{w})=0
[/mm]
Hinreichendes Kriterium: [mm] f_{k}'''(x_{w})\ne0
[/mm]
Wendepunkt [mm] W(x_{w}/f_{k}(x_{w}))
[/mm]
Hier mal die Ableitungen für deine Funktion:
[mm] f_{k}(x)=x^{4}+kx³=x³(x+k)
[/mm]
[mm] f_{k}'(x)=4x^{3}+3kx²=x²(4x+3k)
[/mm]
[mm] f_{k}''(x)=12x^{2}+6kx=x(12x+6k)
[/mm]
[mm] f_{k}'''(x)=24x^{1}+6k
[/mm]
Versuche jetzt mal, zu ermitteln, warum es nur an den Stellen [mm] x_{e_{1}}=0 [/mm] und [mm] x_{e_{2}}=-\bruch{3k}{4} [/mm] Extrempunkte haben kann.
Und versuche dann mal [mm] f_{k}(-\bruch{3k}{4}) [/mm] zu ermitteln.
>
> 2)Definitionsbereich ist entweder R oder IR,oder?Woher weiß
> ich welches das ist?
>
Einschränkungen im Definitionsbereich gibt es bei:
- gebrochenrationalen Funktionen (Nenner darf nicht Null werden)
- Wurzelfunktionen (Wurzelterm darf nicht negativ werden)
- Logarithmischen Funktionen (der Logarithmus ist für negative Zahlen nicht definiert)
Da du nichts davon vorliegen hast, gilt: [mm] D=\IR
[/mm]
> 3)Eine Funktion f hat bei x=-2 eine Nullstelle und in
> E(1;3) einen Tiefpunkt.
>
> Wie geht man an solche Aufgaben überhaupt ran?Ich hab jetzt
> zwear die Lösung aber man muss irgendwie die Informationen
> aus dem Text ziehen? Die erste Ableitung beschreibt immer
> die Steigung der Tangente? udn was machen die restlichen
> beiden?
Siehe oben.
Hier nimm dir mal eine allgemeine Funktion her, und setze die Bedingungen ein.
Bei diesem Beispiel nehme ich mal eine Funktion vierten Grades, die Achsensymmetrich zur y-Achse ist. Wenn nicht, passe das dann an, aber alles andere macht hier keinen Sinn. (Bei den gegeben Drei Bedingungen)
Allgemien ist ja eine Funktion vierten Grades:
[mm] f(x)=ax^{4}+bx³+cx²+dx+e,
[/mm]
hier da Achsensyymetrisch:
[mm] f(x)=ax^{4}+cx²+e
[/mm]
[mm] f'(x)=4ax^{3}+2cx
[/mm]
[mm] f''(x)=12ax^{2}+2c
[/mm]
Und jetzt kannst du drei Bedingungen ermitteln:
**) -2 ist Nullstelle [mm] \Rightarrow [/mm] f(-2)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] 16a+4c+e=0
**) E(1;3) liegt auf dem Graphen [mm] \Rightarrow [/mm] f(1)=2 [mm] \Rightarrow [/mm] a+c+e=0
**) 1 ist Extremstelle [mm] \Rightarrow [/mm] f'(1)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] 4a+2c=0
Und jetzt musst du dann das LGS lösen [mm] \vmat{16a+4c+3=0\\a+c+3=3\\4a+2c=0}
[/mm]
Hilft das erstmal weiter?
Marius
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| Aufgabe | Einschränkungen im Definitionsbereich gibt es bei:
- gebrochenrationalen Funktionen (Nenner darf nicht Null werden)
- Wurzelfunktionen (Wurzelterm darf nicht negativ werden)
- Logarithmischen Funktionen (der Logarithmus ist für negative Zahlen nicht definiert)
Da du nichts davon vorliegen hast, gilt:
Also ich hab immer IR?Es sei denn in der funktion stehen irgendwelche Brüche? |
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Mi 17.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Einschränkungen im Definitionsbereich gibt es bei:
> - gebrochenrationalen Funktionen (Nenner darf nicht Null
> werden)
> - Wurzelfunktionen (Wurzelterm darf nicht negativ werden)
> - Logarithmischen Funktionen (der Logarithmus ist für
> negative Zahlen nicht definiert)
>
> Da du nichts davon vorliegen hast, gilt:
>
> Also ich hab immer IR?Es sei denn in der funktion stehen
> irgendwelche Brüche?
> ...
Im Prinzip ja. Wenn du nicht einschränken musst, kannst du als Def.Bereich komplett [mm] \IR [/mm] nehmen
Marius
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| Aufgabe | | Und ist R und IR das gleiche?Oder hab tich das einfach falsch abgeschrieben? |
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Das k=IR ist, ist schon richtig. Es könnte aber auch ein "normales" R sein. Das "I" davor soll deutschlich machen, dass das Zeichen für Reele Zahlen gemeint ist [mm] (\IR).
[/mm]
Wenn man es gaaaanz genau nimmt müsste es eigentlich auch: k [mm] \in \IR
[/mm]
heißen: k ist Element von Reelen zahlen.
Grüße
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Ok,zumindest bis jetzt ist alles klar!Wenn ich was nicht verstehe,dann melde ich mich nochmal!
Vielen Dank für eure Hilfe!! ;D
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