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Hallo.
Ich wollte mal fragen, was ich zum einen an einer ZSF und zum anderen an einer NZSF ablesen kann?
ZSF: War meiner Meinung nach die lineare abhängigkeit oder unabhängigkeit und den Rang einer Matrix
NZSF: War meiner Meinung nach einmal die Basis, den Kern und wenn es sich um eine erweiterte Koeffizientenmatrix handelt die Lösungsmenge.
Meine nächste Frage bezieht sich auf die Determinante einer Matrix. Was kann ich an der Determinante ablesen, wenn diese einmal 0 und einmal [mm] \not= [/mm] ist?
Meiner Meinung nach war das, dass sie nicht invertrierbar ist, wenn die Determinante 0 ist. Andernfalls ist sie invertierbar.
Und dann die nächste Frage zur Invertierbarkeit. Wenn ich die Inverse einer Matrix bilden will, dann stelle ich ja folgendes auf:
[mm] \vmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } \vmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Ich bringe die linke Seite in NZSF und kann an der rechten Seite, wenn ich die Zeilenoperationen für beide Matrizen anwende die Inverse ablesen. Inwiefern spielt es jetzt eine Rolle, wenn ich zuallererst Zeile 1 und 2 vertausche. In vielen Beispielen habe ich gesehen, dass zuallererst die Hauptdiagonale der rechten Matrix zu einer Nebendiagonale extrahiert wird. Spielt das eine wichtige Rolle oder könnte ich auch gleich anfangen zu rechnen?
Ich wäre euch dankbar, wenn ihr meinen Beitrag ergänzen könntet wenn euch noch etwas einfällt oder vielleicht sogar verbessern, wenn etwas falsch ist.
Danke schonmal im Voraus. Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 So 17.02.2008 | | Autor: | Sabah |
Hallo
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> Ich wollte mal fragen, was ich zum einen an einer ZSF und
> zum anderen an einer NZSF ablesen kann?
>
> ZSF: War meiner Meinung nach die lineare abhängigkeit oder
> unabhängigkeit und den Rang einer Matrix
Du meinst etwa Zeilenstufenform einer Matrix.
Wenn man eine Matrix in ZSF gebrahct hat, kann man ablesen ob die Zeilen oder Spaltenvektoren linearabhängog oder unabgängig sind. Den Rang kann man dann auch ablesen.
>
> NZSF: War meiner Meinung nach einmal die Basis, den Kern
> und wenn es sich um eine erweiterte Koeffizientenmatrix
> handelt die Lösungsmenge.
Die Definition, wie du geschrieben hast ist quatsch.
>
>
> Meine nächste Frage bezieht sich auf die Determinante einer
> Matrix. Was kann ich an der Determinante ablesen, wenn
> diese einmal 0 und einmal [mm]\not=[/mm] ist?
>
> Meiner Meinung nach war das, dass sie nicht invertrierbar
> ist, wenn die Determinante 0 ist. Andernfalls ist sie
> invertierbar. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Die Determinante ist (bei 2x2 Matrix) die Fläche, die vom Zeilen oder Spaltenvektoren ezeugt ist.
> Und dann die nächste Frage zur Invertierbarkeit. Wenn ich
> die Inverse einer Matrix bilden will, dann stelle ich ja
> folgendes auf:
>
[mm]\vmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } \vmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> Ich bringe die linke Seite in NZSF und kann an der rechten
> Seite, wenn ich die Zeilenoperationen für beide Matrizen
> anwende die Inverse ablesen.
Inwiefern spielt es jetzt eine
> Rolle, wenn ich zuallererst Zeile 1 und 2 vertausche. In
> vielen Beispielen habe ich gesehen, dass zuallererst die
> Hauptdiagonale der rechten Matrix zu einer Nebendiagonale
> extrahiert wird. Spielt das eine wichtige Rolle oder könnte
> ich auch gleich anfangen zu rechnen?
Du kannst nicht einfach Zeilen tausche, dann kommst du durcheinander. Weil wenn du eine zeile vertauschst, musst du das wieder später rückgängig machen.
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> Ich wäre euch dankbar, wenn ihr meinen Beitrag ergänzen
> könntet wenn euch noch etwas einfällt oder vielleicht sogar
> verbessern, wenn etwas falsch ist.
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> Danke schonmal im Voraus. Mit freundlichen Grüßen
> domenigge135
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Okay noch eine wichitge Frage zur Basis einer Matrix. Und zwar argunmentiere ich dort ja mit den Kopfvariablen und nicht Kopfvariablen.
Nehmen wir als Beispiel einmal die Matrix [mm] A=\vmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 }
[/mm]
Diese hat die NZSF [mm] A=\vmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 }
[/mm]
Kopfvariablen sind nun [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2. [/mm] Nichtkopfvariablen sind [mm] x_3.
[/mm]
Aber wie kann ich nun die Basis davon ablesen? Wären das die Spalten von den kopfvariablen oder wie macht man das nochmal?
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> Okay noch eine wichitge Frage zur Basis einer Matrix.
Hallo,
Matrizen haben keine Basis.
Vektorräume haben eine Basis. Die mxn- Matrizen bilden einen Vektorraum, welcher eine Basis hat.
Das, was Du meinst, hat hiermit aber ü-ber-haupt nichts zu tun.
> Nehmen wir als Beispiel einmal die Matrix [mm]A=\vmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 }[/mm]
Du läßt es leider im Dunkeln, was Du berechnen möchtest...
Ich nehme mal an, Bild oder Kern dieser Matrix.
>
> Diese hat die NZSF [mm]A=\vmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 }[/mm]
>
> Kopfvariablen sind nun [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2.[/mm] Nichtkopfvariablen sind
> [mm]x_3.[/mm]
Du kannst nun wissen, daß die Vektoren, die in der 1. und 2. Spalte standen, also [mm] \vektor{1 \\ 4} [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ 5} [/mm] eine Basis des Bildes Deiner Matrix sind.
Den Kern errechnet man wie folgt:
die Variable [mm] x_3 [/mm] kann beliebig gewählt werden, etwa
[mm] x_3=t
[/mm]
der 2. Zeile entnimmt man
[mm] x_2=-2x_3=-2t,
[/mm]
und der 1.Zeile
[mm] x_1=x_3=t.
[/mm]
Also hat jeder Lösungsvektor x von Ax=0 die Gestalt
[mm] x:=\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}=\vektor{t \\ -2t\\t}=t\vektor{1 \\ -2\\1},
[/mm]
und damit ist [mm] (\vektor{1 \\ -2\\1}) [/mm] eine Basis des Kerns von A.
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Ja gut. Also in der Aufgabe stand Basis des Bildes. Und Basis wollte ich auch berechnen. Kern ist mir klar wie ich den berechnen kann. Es geht nur um die Basis.
Aber wie es scheint sind dies ja die Spalten in denen die Kopfvariablen stecken.
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> Ja gut. Also in der Aufgabe stand Basis des Bildes. Und
> Basis wollte ich auch berechnen.
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> Aber wie es scheint sind dies ja die Spalten in denen die
> Kopfvariablen stecken.
Hallo,
ja, Du kannst die Spalten der Startmatrix nehmen, in welchen in der Endmatrix Deine Kopfvariablen stehen.
Gruß v. Angela
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