Allgemeine fragen zu Basen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:17 So 11.12.2005 | | Autor: | AriR |
/ Frage von mir nicht zuvor gestellt
Hey Leute mal eine allgemeinere Frage zu Basen eines k-Vektorraums:
Es gilt ja:
n Linear unabhängige Vektoren bilden im n-dimensionalen Vektorraum immer eine Basis.
Hat einer von euch eine logische erklärung oder den Beweis zu dieser Aussage??
Diese Aussage ist doch auch nur richtig, wenn den ganzen n-dimensinalen Vektorraum betrachtet und keine Unterräume dieses Vektorraums oder?
würde mich SEHR über eine antwort freuen.. gruß ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:20 So 11.12.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Ari!
> Es gilt ja:
> n Linear unabhängige Vektoren bilden im n-dimensionalen
> Vektorraum immer eine Basis.
>
> Hat einer von euch eine logische erklärung oder den Beweis
> zu dieser Aussage??
Sind [mm] $v_1,\ldots, v_n$ [/mm] linear unabhängig, dann ist [mm] $Span(v_1,\ldots,v_n)$ [/mm] ein $n$-dimensionaler Unterraum des $n$-dimensionalen Vektorraums $V$, woraus (aus Sätzen, die ihr sicherlich im Skripet stehen habt)
$V= [mm] Span(v_1,\ldots,v_n)$
[/mm]
folgt.
Oder: Gäbe es ein Element $v [mm] \in [/mm] V [mm] \setminus Span(v_1,\ldots,v_n)$, [/mm] dann wäre ja auch [mm] $\{v_1,\ldots,v_n,v\}$ [/mm] linear unabhängig, also [mm] $Span(v_1,\ldots,v_n,v) \subset [/mm] V$ von größerer Dimension als $V$ selbst, Widerspruch.
Ein genauer Beweis der Aussage hängt davon ab, welche Definitionen und Sätze ihr genau zur Verfügung habt.
> Diese Aussage ist doch auch nur richtig, wenn den ganzen
> n-dimensinalen Vektorraum betrachtet und keine Unterräume
> dieses Vektorraums oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Liebe Grüße
Stefan
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