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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
[mm] y^{,,}-2xy^{,}-2y=0.
[/mm]
Verwenden Sie, dass [mm] y_{1}(x)=e^{{x^{2}}} [/mm] eine spezielle Lösung dieser Differentialgleichung ist. Hinweis: Das letzte Integral lässt sich nicht explizit lösen und kann einfach als Integral angegeben werden. |
Hallo liebe Matheraum- Community,
es wäre sehr nett, wenn jemand mal über die Lösung meiner Aufgabe schauen könnte. Stimmt meine Berechnung?
Wir haben
[mm] y^{,,}-2xy^{,}-2y=0, [/mm] mit [mm] y_{1}(x)=e^{x^{2}}, a_{1}(x)=-2x [/mm] und [mm] a_{2}(x)=1
[/mm]
Wir lösen das Integral
[mm] -\integral_{}^{}{\bruch{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}dx}=x^{2}
[/mm]
und berechnen nun
[mm] y_{2}(x)=e^{x^{2}}\integral_{}^{}{\bruch{e^{x^{2}}}{(e^{x^{2}})^{2}} dx}
[/mm]
Wir erhalten
[mm] y_{2}(x)=e^{x^{2}}\integral_{}^{}{\bruch{1}{e^{x^{2}}}dx}
[/mm]
Auflösung des Integrals liefert
[mm] y_{2}(x)=e^{x^{2}}*\bruch{1}{2}{\wurzel{\pi}}*erf(x)
[/mm]
Für die Gesamtlösung erhalten wir also
[mm] y(x)=e^{x^{2}}(c_{1}+c_{2}*\bruch{1}{2}{\wurzel{\pi}}*erf(x)), [/mm] mit [mm] c_{1},c_{2}\in\IR
[/mm]
Ich bedanke mich bereits im Voraus. Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel08,
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung
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> [mm]y^{,,}-2xy^{,}-2y=0.[/mm]
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> Verwenden Sie, dass [mm]y_{1}(x)=e^{{x^{2}}}[/mm] eine spezielle
> Lösung dieser Differentialgleichung ist. Hinweis: Das
> letzte Integral lässt sich nicht explizit lösen und kann
> einfach als Integral angegeben werden.
> Hallo liebe Matheraum- Community,
>
> es wäre sehr nett, wenn jemand mal über die Lösung meiner
> Aufgabe schauen könnte. Stimmt meine Berechnung?
>
>
>
> Wir haben
>
>
> [mm]y^{,,}-2xy^{,}-2y=0,[/mm] mit [mm]y_{1}(x)=e^{x^{2}}, a_{1}(x)=-2x[/mm]
> und [mm]a_{2}(x)=1[/mm]
>
>
>
> Wir lösen das Integral
>
>
> [mm]-\integral_{}^{}{\bruch{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}dx}=x^{2}[/mm]
>
>
>
> und berechnen nun
>
>
> [mm]y_{2}(x)=e^{x^{2}}\integral_{}^{}{\bruch{e^{x^{2}}}{(e^{x^{2}})^{2}} dx}[/mm]
>
>
>
> Wir erhalten
>
>
> [mm]y_{2}(x)=e^{x^{2}}\integral_{}^{}{\bruch{1}{e^{x^{2}}}dx}[/mm]
>
>
>
> Auflösung des Integrals liefert
>
>
> [mm]y_{2}(x)=e^{x^{2}}*\bruch{1}{2}{\wurzel{\pi}}*erf(x)[/mm]
>
>
>
> Für die Gesamtlösung erhalten wir also
>
>
> [mm]y(x)=e^{x^{2}}(c_{1}+c_{2}*\bruch{1}{2}{\wurzel{\pi}}*erf(x)),[/mm]
> mit [mm]c_{1},c_{2}\in\IR[/mm]
>
>
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Ich bedanke mich bereits im Voraus. Gruß,
>
>
>
>
>
> Marcel
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 So 07.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Danke schön.!
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