Allgemeine Lösung einer DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 Fr 17.08.2007 | | Autor: | MrFroggy |
| Aufgabe | Geben Sie zu der Differentialgleichung
[mm]y'' + y = 0[/mm]
die allgemeine Lösung an.
Lösen Sie die Differentialgleichung
[mm]y'' + y = x[/mm]. |
Hallo,
ich quäle mich gerade durch DGL durch und habe leider noch einige Verständnisschwierigkeiten, wäre für Hilfe sehr dankbar  .
Also los: ich hab' hier eine DGL zweiter Ordnung.
Jetzt substituiere ich, damit ich dann Variablentrennung und Integration durchführen kann.
Sei also
[mm]y'=p(y(x)),
\Rightarrow y''=\frac{dp}{dy} * \frac{dy}{dx} = y'p'=pp' .
\Rightarrow p*\frac{dp}{dy}+y=0
\Rightarrow \int p\, dp = \int -y\, dy
\Rightarrow \frac{1}{2}p^2 = -\frac{1}{2}y^2 + C_1.
[/mm]
Jetzt setze ich wieder y' für p ein:
[mm]y'^2 + y^2 = 2C_1
\Rightarrow \frac{dy}{dx} * \frac{dy}{dx} = 2C_1 - y^2
\Rightarrow \int y'\, dy = \int 2C_1\, dx - \int y^2\, dx
\Rightarrow \frac{1}{2}y^2 = 2C_1x - \int y^2\, dx
[/mm]
Und hier hänge ich. Habe ich irgendwo einen Fehler eingebaut? Ich weiß nicht, was ich mit dem y machen soll. Ob und wie könnte ich das denn überhaupt nach x integrieren? Oder hab ich mich vorher verfranst? Habs mehrmals durchgerechnet, komme leider nicht weiter.
Würde mich sehr über einen Denkanstoß freuen.
Grüße,
Froggy
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Fr 17.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo froggy
Ich hab noch nir gehört, dass man Dgl. 2. Ordnung mit Trennung der Variablen löst.
In deinen Ausführungen dazu ist [mm] \integral{y' dy} [/mm] nicht [mm] y^2/2 [/mm] differenzier mal, dann siehst dus.
Du hast ne lineare homogene Dgl. 2.ter Ordnung. Die werden i.A. mit dem Anssatz [mm] y=A*e^{\lamba*x} [/mm] gelöst
bei 1 also [mm] \lambd^2+1=0 \lambda=\pm [/mm] i
damit [mm] y=Ae^{ix} +B*e^{-ix} [/mm] oder y=Asinx*Bcosx.
Der homogene Teil der 2. ist dasselbe, hier muss man noch einr partikuläre Lösung der inhomogenen raten oder bestimmen.
Hier sieht man direkt, y=x, y''=0 ist ne part. Lösung.
Wenn du grad Dgl. Wiederholst, solltest du erstmal die verschiedenen Typen von Dgl. wiederholen, um dann die richtigen methoden Anzuwenden!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 Fr 17.08.2007 | | Autor: | MrFroggy |
Oh Mist, Du hast natürlich völlig recht!
Hatte ein Brett vor dem Kopf, habe es jetzt natürlich so wie Du, das hätte ich eigentlich wissen müssen... *schäm*
Danke!
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