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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Fr 10.06.2016 | | Autor: | Ice-Man |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der DGL.
[mm] x^{2}y''+5xy'+4y=2lnx+6 [/mm] |
Hallo,
ich habe mal bitte eine Frage, denn ich komme nicht auf die partikuläre Lösung.
Mein Ansatz für die homogene Lösung,
[mm] x^{2}y''=\bruch{d^{2}y}{d^{2}t}-\bruch{dy}{dt}
[/mm]
[mm] xy'=\bruch{dy}{dt}
[/mm]
[mm] \bruch{d^{2}y}{d^{2}t}-\bruch{dy}{dt}+5\bruch{dy}{dt}+4y=0
[/mm]
[mm] \lambda^{2}+4\lambda+4=0
[/mm]
[mm] \lambda_{1,2}=-2
[/mm]
[mm] y_{H}=\bruch{1}{x^{2}}(C_{1}+C_{2}lnx)
[/mm]
Und dann hat mir mein Professor gesagt das ein guter Ansatz für die partikuläre Lösung [mm] x=e^{t} [/mm] ist.
Also wäre es...
[mm] y_{P}=2lnx+6
[/mm]
[mm] y_{P}=2ln(e^{t})+6=2t+6
[/mm]
Nur das ist ja Unsinn...
Denn ich muss ja als [mm] y_{P}=\bruch{1}{2}lnx+1 [/mm] erhalten.
Zumindest nach meinen Lösungsvorgaben betrachtet.
Kann mir evtl. bitte jemand sagen wo mein Fehler ist?
Vielen Dank schon einmal.
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> Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der DGL.
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> [mm]x^{2}y''+5xy'+4y=2lnx+6[/mm]
> Hallo,
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> ich habe mal bitte eine Frage, denn ich komme nicht auf die
> partikuläre Lösung.
>
> Mein Ansatz für die homogene Lösung,
>
> [mm]x^{2}y''=\bruch{d^{2}y}{d^{2}t}-\bruch{dy}{dt}[/mm]
>
> [mm]xy'=\bruch{dy}{dt}[/mm]
>
> [mm]\bruch{d^{2}y}{d^{2}t}-\bruch{dy}{dt}+5\bruch{dy}{dt}+4y=0[/mm]
>
> [mm]\lambda^{2}+4\lambda+4=0[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1,2}=-2[/mm]
>
> [mm]y_{H}=\bruch{1}{x^{2}}(C_{1}+C_{2}lnx)[/mm]
>
> Und dann hat mir mein Professor gesagt das ein guter Ansatz
> für die partikuläre Lösung [mm]x=e^{t}[/mm] ist.
Nein.
Wähle [mm] y=\bruch{1}{2}*ln(x)+a.
[/mm]
Setze das ein. Du erhältst a=1.
>
> Also wäre es...
>
> [mm]y_{P}=2lnx+6[/mm]
>
> [mm]y_{P}=2ln(e^{t})+6=2t+6[/mm]
>
> Nur das ist ja Unsinn...
>
> Denn ich muss ja als [mm]y_{P}=\bruch{1}{2}lnx+1[/mm] erhalten.
>
> Zumindest nach meinen Lösungsvorgaben betrachtet.
>
> Kann mir evtl. bitte jemand sagen wo mein Fehler ist?
>
> Vielen Dank schon einmal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:55 Fr 10.06.2016 | | Autor: | Ice-Man |
Ok,
und woher weis ich das ich [mm] y=\bruch{1}{2}ln(x)+a [/mm] einsetzen muss?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:33 Sa 11.06.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das es etwas mit dem [mm] \ln(x) [/mm] zu tun haben muss, siehst du ja daran, dass die Ableitung des [mm] \ln(x) [/mm] ja [mm] \frac{1}{x} [/mm] ist, und die zweite Ableitung dann [mm] -\frac{1}{x^{2}}
[/mm]
Damit Kürzen sich dann auf der linken Seite die Terme [mm] x^{2}\cdot y^{''} [/mm] und [mm] x\cdot y^{'} [/mm] zu Summanden heraus, die von x unabhängig sind, und damit dann zusammen die 6 ergeben.
Den noch fehlenden Vorfaktor bekommst du dann sicher auch schnell heraus.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Sa 11.06.2016 | | Autor: | Ice-Man |
Ich habe meinen Fehler gefunden..
War einfach nur ein grober Verständnisfehler von mir.
Aber auf jeden Fall vielen Dank für eure Hilfe.
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