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| Aufgabe | Hi !!!
1.Angenommen ich habe eine Funktion 4.Grades.
So hat diese maximal 4 Nullstellen, maximal 3 Extrema und maximal 2 Wendepunkte.
2.Ich habe in einem Koordinatensystem eine Funktion .
Nun soll ich von dieser Funktion die Funktion der 1.Ableitung einzeichnen. |
zu 1.
Kann mir bitte jemand in Worten erklären warum das so ist ?
zu 2.
Würde gerne dazu wissen was richtig ist:
Da wo f(x) am steilsten ist, ist bei f'(x) eine Extremstelle ?
Oder ist bei f'(x) ein Extrema, wo bei f(x) eine Nullstelle ist ?
Wo bei f(x) ein Extrema ist, ist bei f'(x) die steilste Stelle ?
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Mo 04.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Hi !!!
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> 1.Angenommen ich habe eine Funktion 4.Grades.
> So hat diese maximal 4 Nullstellen, maximal 3 Extrema und
> maximal 2 Wendepunkte.
>
> 2.Ich habe in einem Koordinatensystem eine Funktion .
> Nun soll ich von dieser Funktion die Funktion der
> 1.Ableitung einzeichnen.
> zu 1.
> Kann mir bitte jemand in Worten erklären warum das so ist
> ?
Funktion 4. Grades bedeutet:
[mm] f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
[/mm]
Eine Funktion hat maximal so viele Nullstellen, wie der höchste Grad. In diesem Falle 4.
Die Extrema berechnest du, indem du
f'(x)=0 berechnest:
[mm] f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d
[/mm]
Jetzt hast du eine Funktion dritten Grades; das bedeutet, f'(x) hat höchstens 3 Nullstellen und somit hat f(x) höchstens drei Extrema.
Wendepunkte berechnest du, indem du
f''(x)=0 setzt:
[mm] 0=12ax^2+6bx+2c
[/mm]
Du hast eine Funktion 2. Grades, weißt dann, f''(x) hat höchstens 2 Nullstellen und somit hat f(x) höchstens 2 Wendestellen.
>
> zu 2.
> Würde gerne dazu wissen was richtig ist:
>
> Da wo f(x) am steilsten ist, ist bei f'(x) eine
> Extremstelle ?
> Oder ist bei f'(x) ein Extrema, wo bei f(x) eine
> Nullstelle ist ?
du scheinst hier f(x) und f'(x) durcheinander zu bringen!
f(x) ist die Funktion.
f'(x) ist die Ableitung von f(x).
f(x) hat in dem x eine Extremstelle, für das gilt:
f'(x)=0.
> Wo bei f(x) ein Extrema ist, ist bei f'(x) die steilste
> Stelle ?
>
> danke
Ich hoffe, diese Erklärungen helfen dir weiter.
MfG
barsch
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danke..Aufgabe 1 hab ich komplett verstanden 
Aber 2. ist mir noch nicht ganz klar.
Wenn ich eine Funktion im Koordinatensystem habe....nach was muss ich bei dieser Funktion suchen, um für f'(x) einen Extrempunkt zu finden.
Muss ich gucken wo die Funktion am steilsten ist und dort muss bei f'(x) ein Extrema sein ?
Oder muss ich gucken wo bei der Funktion die Nullstelle ist und dort müsste dann bei f'(x) ein Extrema sein ?
Und ist die Nullstelle bei einer Funktion dann in f' ein Wendepunkt ?
Ich suche sozusagen nach Merkmalen einer Funktion, um automatisch f' zeichnen zu können !!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Mo 04.06.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
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> Wenn ich eine Funktion im Koordinatensystem habe....nach
> was muss ich bei dieser Funktion suchen, um für f'(x) einen
> Extrempunkt zu finden.
willst du für f(x) oder für f ' (x) einen extrempunkt finden?
1. wir sind davon ausgegangen, dass du einen extrempunkt für f(x) finden willst...
und dann suchst du im koordinatensystem nach stellen, an denen f(x) waagerechte tangenten besitzt. d.h. an diesen stellen ist f ' (x) =0
und nicht f(x) !! also du betrachtest die nullstellen der 1. ableitung !
wobei die nullstellen der 1. ableitung nichts mit den nullstellen der funktion zu tun haben!!
> Muss ich gucken wo die Funktion am steilsten ist und dort
> muss bei f'(x) ein Extrema sein ?
> Oder muss ich gucken wo bei der Funktion die Nullstelle
> ist und dort müsste dann bei f'(x) ein Extrema sein ?
> Und ist die Nullstelle bei einer Funktion dann in f' ein
> Wendepunkt ?
2. wenn du allerdings meintest, wo ein extrempunkt von f ' (x) liegt,
dann fragst du nach den nullstellen der 2. ableitung, also f '' (x) =0
also nach stellen, an denen die steigung der 1. ableitung gleich null ist.
im prinzip untersuchst du dann f ' (x) auf waagerechte tangenten.
mit hilfe der 3. ableitung kannst du dann prüfen, ob die gefundene stelle ein relatives maximum oder minimum, in bezug auf die gegebene funktion f stellt so ein punkt einen wendepunkt dar.
gruß
wolfgang
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Also ich habe im Koordinatensystem eine Funktion (keine Ableitung).
Und von dieser Funktion soll ich nun die 1.Ableitung in das Koordinatensystem zeichnen.
Und dazu die Frage:
Nach welchen Stellen muss ich bei der vorgegebenen Funktion gucken, um bei f' , welches ich einzeichnen soll, besondere Stellen wie Nullstelle oder Extrempunkte zu finden ?
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> Also ich habe im Koordinatensystem eine Funktion (keine
> Ableitung).
> Und von dieser Funktion soll ich nun die 1.Ableitung in
> das Koordinatensystem zeichnen.
>
> Und dazu die Frage:
>
> Nach welchen Stellen muss ich bei der vorgegebenen Funktion
> gucken, um bei f' , welches ich einzeichnen soll, besondere
> Stellen wie Nullstelle oder Extrempunkte zu finden ?
Hallo,
an den Stellen, an welchen f Extrema hat, hat f' Nullstellen.
an den Stellen, an welchen f Wendepunkte hat, hat f' Extremwerte.
Gruß v. Angela
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Danke !!!
Das war genau das was ich wissen wollte
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Eine Frage hätte ich jedoch noch
Wie lautet das hinreichende Kriterium für Extremstellen mittels 2. Ableitung und wie kann man damit entscheiden, ob an einer möglichen Extremstelle ein Hochpunkt oder Tiefpunkt befindet ?
Ich würde sagen: hinreichende Kriterium : f''(x) = 0 und f'''(x) [mm] \not= [/mm] 0
Also f'''(x) < 0 Hochunkt
f'''(x) > 0 Tiefpunkt
Stimmt das so ?
Und bei welchen Fällen versagt das hinreichende Kriterium für Extremstellen mittels 2.ABleitung Und wie kann man in diesem Fall vorgehen ?
Hierzu hab ich leider keien Idee.
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Di 05.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn eine fkt ein maximum hat, dann steigt sie vor dem Max und fällt hinter dem max.
d.h. vor dem max ist die Ablietung positiv, danach negativ. das bedeutet aber die Ableitungsfunktion fällt! fallen einer fkt heisst ihre Ableitung ist neg.
um also zu sehen ob die Ableitungsfkt f# fällt musst du f'' ansehen. wenn f''<0 dann hast du sicher ein fallendes f' d.h. (natürlich noch mit f' an der stelle =0 du hast ein Maximum.
Zusammen f'(x1)=0 und f''(x1)<0 sagt eindeutig es ist ein maximum der fkt. da. Also ist das ein hinreichendes Kriterium.
Wenn aber f''(x1)=0 ist weiss man noch nix! es heisst nur, dass f'(x1) ne waagerechte Tangente hat. das kann ein Extremwert von x1 sein, (und ne Nullstelle) dann geht f# von pos nach pos oder neg nach neg. also kein Max der fkt - oder ein sog. Sattelpunkt, d.h.es kann f' immer noch von + nach -gehen. jetzt muss man untersuchen, was wirklich ist. also die nächste Ableitung. f'''(x1) wenn das ungleich 0 ist, dann hatte man bei f ne waggerechte Tangente, bei f' auch aber bei f'' nicht mehr, also hatte f einen Sattel, kein Extremwert.
Wenn man immer so weiter macht sieht man: wenn die erste von Null verschiedene Ableitung grade ist (also 2.te oder 4.te oder 6.te, dann hat man nen echten Extremwert, wenn die erste von 0 verschieden Ableitung ungerade ist, 3 , 5 usw. dann hat man nen sattelpunkt.
All das kommt auf der Schule selten vor. was man wirklich macht:
guck die fkt in der Nähe des Punktes mit f'=0 an, wenn sie auf beiden Seiten kleiner wird hat man ein Max. entspr. min. wenn sie auf eine Seite größer, auf der anderen kleiner wird Sattel.
Klar machen kann man sich das etwa an [mm] x^5 [/mm] und [mm] x^6 [/mm] bei x=0
f'(0)=0,f''(0)=0 f'''(0)=0 usw. wer ein max und wer ein Sattel hat weisst du zwar vorher, kannst es aber hier entscheiden.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Di 05.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn eine Polynom 4 Nullstellen hat, kann ich es Schreiben als : f(x)=A(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*(x-x4) ausmultipliziert ist die höchst Potenz 4. wenn sie mehr als 4 häätte konnte man noch nen Faktor (x-x5) drahhängen und sie wär 5. Grades.
Dass es nicht genau 4 sind kann man am Beispiel [mm] x^4+1 [/mm] sehen mit keiner. oder [mm] (x^2-1)*(x^2+1) [/mm] 2 Nst. also höchstens 4.
da die Ableitung einen Grad weniger hat entsprechend nur 3 Nst. also höchstens 3 Extrema usw.
Gruss leduart
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