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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:54 Mi 25.06.2008 | | Autor: | uniklu |
| Aufgabe | Entscheide ob Ax = b lösbar, universell lösbar oder eindeutig lösbar ist und
bestimme gegebenenfalls die Zahl der Parameter der allgemeinen Lösung:
Format von A: 3x3 6x2
Rg(A): 2 2 |
Hallo!
ich kenne folgende Regeln:
A [mm] \in K^{m*n}
[/mm]
rg(A) [mm] \not= rg(A_{erw}) [/mm] => unlösbar
rg(A) = [mm] rg(A_{erw}) [/mm] => lösbar
i) rg(A) = n => eindeutig lösbar
ii) rg(A) = r < n => (n-r)-parametrig lösbar
iii) rg(A) = m => universell lösbar
Da es sich ja um generische Matrizen handelt, tu ich mir etwas schwer mit der Lösung. Um nach den obigen Kriterien vorgehen zu können, benötige ich [mm] A_{erw}.
[/mm]
Es ist klar, dass einfach der Vektor b an die Matrix A geheftet wird aber wie komme ich dann auf den Rang dieser neuen Matrix. Ich kann ihn ja nicht errechnen.
Gibt es dazu einen Trick?
mfg
uniklu
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> Entscheide ob Ax = b lösbar, universell lösbar oder
> eindeutig lösbar ist und
> bestimme gegebenenfalls die Zahl der Parameter der
> allgemeinen Lösung:
>
> Format von A: 3x3 6x2
> Rg(A): 2 2
> Hallo!
>
> ich kenne folgende Regeln:
>
> A [mm]\in K^{m*n}[/mm]
>
> rg(A) [mm]\not= rg(A_{erw})[/mm] => unlösbar
>
> rg(A) = [mm]rg(A_{erw})[/mm] => lösbar
> i) rg(A) = n => eindeutig lösbar
> ii) rg(A) = r < n => (n-r)-parametrig lösbar
> iii) rg(A) = m => universell lösbar
>
>
> Da es sich ja um generische Matrizen handelt, tu ich mir
> etwas schwer mit der Lösung. Um nach den obigen Kriterien
> vorgehen zu können, benötige ich [mm]A_{erw}.[/mm]
>
> Es ist klar, dass einfach der Vektor b an die Matrix A
> geheftet wird aber wie komme ich dann auf den Rang dieser
> neuen Matrix. Ich kann ihn ja nicht errechnen.
> Gibt es dazu einen Trick?
Hallo,
wenn Du Deine erste erweiterte Koeffizientenmatrix auf Zeilenstufnform bringst, hast das Resultat ja die Gestalt
[mm] \pmat{\* & \* &\* & | c_1\\ 0& \* &\* & | c_2\\0 &0 &0 & | c_3}
[/mm]
Je nachdem, ob [mm] c_3 [/mm] =0 oder [mm] c_3\not=0 [/mm] ist das GS lösbar oder nicht.
Wenn es lösbar ist, ist es nach
> ii) rg(A) = r < n => (n-r)-parametrig lösbar
3-2 parametrig lösbar.
Für die zweite Aufgabe entsprechend.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Mi 25.06.2008 | | Autor: | uniklu |
| Aufgabe | Format von A: 3x3 3x3 5x9 5x9 6x2
rg(A) 3 2 2 5 2 |
Hallo!
Danke für die rasche Antwort. Ich hoffe die folgenden Lösungen stimmen dann auch.
A := m=3 x n=3, rg(A) = 3
[mm] \pmat{ x & x & x & | b_{1} \\
0 & x & x & | b_{2} \\
0 & 0 & x & | b_{3} \\ }
[/mm]
rg(A) = n
=> eindeutig lösbar, wenn rg(A) = [mm] rg(A_{erw})
[/mm]
A := m=3 x n=3, rg(A) = 2
[mm] \pmat{ x & x & x & | b_{1} \\
0 & x & x & | b_{2} \\
0 & 0 & 0 & | b_{3} \\ }
[/mm]
r < n
=> (n-r) = 1 parametrig lösbar, wenn rg(A) = [mm] rg(A_{erw})
[/mm]
A := m=5 x n=9, rg(A) = 2
[mm] \pmat{ x & x & x & x & x & x & x & x & x| b_{1} \\
0 & x & x & x & x & x & x & x & x| b_{2} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0| b_{3} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0| b_{4} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0| b_{5} \\ }
[/mm]
r < n
9-2 = 7 parametrig lösbar, wenn rg(A) = [mm] rg(A_{erw})
[/mm]
A := m=5 x n=9, rg(A) = 5
[mm] \pmat{ x & x & x & x & x & x & x & x & x| b_{1} \\
0 & x & x & x & x & x & x & x & x| b_{2} \\
0 & 0 & x & x & x & x & x & x & x| b_{3} \\
0 & 0 & 0 & x & x & x & x & x & x| b_{4} \\
0 & 0 & 0 & 0 & x & x & x & x & x| b_{5} \\ }
[/mm]
rg(A) = m
=> universell lösbar, wenn rg(A) = [mm] rg(A_{erw})
[/mm]
A := m=6 x n=2, rg(A) = 2
[mm] \pmat{ x & x & | b_{1} \\
0 & x & | b_{2} \\
0 & 0 & | b_{3} \\
0 & 0 & | b_{4} \\
0 & 0 & | b_{5} \\
0 & 0 & | b_{6} \\ }
[/mm]
rg(A) = n
=> eindeutig lösbar, wenn rg(A) = [mm] rg(A_{erw})
[/mm]
danke nochmals!
mfg
uniklu
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> Format von A: 3x3 3x3 5x9 5x9 6x2
> rg(A) 3 2 2 5 2
> Hallo!
>
> Danke für die rasche Antwort. Ich hoffe die folgenden
> Lösungen stimmen dann auch.
>
>
> A := m=3 x n=3, rg(A) = 3
> [mm]\pmat{ x & x & x & | b_{1} \\
0 & x & x & | b_{2} \\
0 & 0 & x & | b_{3} \\ }[/mm]
>
> rg(A) = n
> => eindeutig lösbar, wenn rg(A) = [mm]rg(A_{erw})[/mm]
Hallo,
und? Ist dies hier der Fall? Stimmen die beiden Ränge überein, oder tun sie's nicht?
>
>
>
> A := m=3 x n=3, rg(A) = 2
> [mm]\pmat{ x & x & x & | b_{1} \\
0 & x & x & | b_{2} \\
0 & 0 & 0 & | b_{3} \\ }[/mm]
>
> r < n
> => (n-r) = 1 parametrig lösbar, wenn rg(A) = [mm]rg(A_{erw})[/mm]
Und wenn die Ränge nicht übereinstimmen?
Für diese Matrix gibt es also je nach Wal v. b zwei Möglichkeiten: entweder ist das System unlösbar, oder es ist 1-parametrig lösbar.
>
>
>
> A := m=5 x n=9, rg(A) = 2
> [mm]\pmat{ x & x & x & x & x & x & x & x & x| b_{1} \\
0 & x & x & x & x & x & x & x & x| b_{2} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0| b_{3} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0| b_{4} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0| b_{5} \\ }[/mm]
>
> r < n
> 9-2 = 7 parametrig lösbar, wenn rg(A) = [mm]rg(A_{erw})[/mm]
und sonst unlösbar.
>
>
>
> A := m=5 x n=9, rg(A) = 5
> [mm]\pmat{ x & x & x & x & x & x & x & x & x| b_{1} \\
0 & x & x & x & x & x & x & x & x| b_{2} \\
0 & 0 & x & x & x & x & x & x & x| b_{3} \\
0 & 0 & 0 & x & x & x & x & x & x| b_{4} \\
0 & 0 & 0 & 0 & x & x & x & x & x| b_{5} \\ }[/mm]
>
> rg(A) = m
> => universell lösbar, wenn rg(A) = [mm]rg(A_{erw})[/mm]
Kann es denn sein, daß die Ränge verschieden sind?
Universell lösbar sagt doch gerade, daß das System für jedes b lösbar ist.
Du mußt nun noch verraten, wie die Lösung aussieht.
>
>
>
> A := m=6 x n=2, rg(A) = 2
> [mm]\pmat{ x & x & | b_{1} \\
0 & x & | b_{2} \\
0 & 0 & | b_{3} \\
0 & 0 & | b_{4} \\
0 & 0 & | b_{5} \\
0 & 0 & | b_{6} \\ }[/mm]
>
>
> rg(A) = n
> => eindeutig lösbar, wenn rg(A) = [mm]rg(A_{erw})[/mm]
und sonst nicht lösbar.
Gruß v. Angela
>
>
>
> danke nochmals!
>
> mfg
> uniklu
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