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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:57 Mo 18.05.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Es sei V ein R-Vektorraum, a, b, c ∈ V und x := b + c, y := c + a, z := a + b. Zeigen Sie:
a) span(a, b, c) = span(x, y, z).
b) a, b, c sind genau dann linear unabhängig, wenn x, y, z linear unabhängig sind.
c) Gelten die Aussagen aus (a) und (b) auch für allgemeine Vektorräume? |
Bin bei und komme nicht weiter
a)
span(a,b,c) = [mm] {\lambda_{1}a+\lambda_{2}b+\lambda_{3}c}
[/mm]
span(x,y,z) = [mm] {\lambda_{1}x+\lambda_{2}y+\lambda_{3}z}
[/mm]
= [mm] {\lambda_{1}(b+c)+\lambda_{2}(c+a)+\lambda_{3}(a+b)}
[/mm]
= [mm] {\lambda_{1}b+\lambda_{1}c+\lambda_{2}c+\lambda_{2}a++\lambda_{3}a++\lambda_{3}b}
[/mm]
[mm] ={a(\lambda_{2}+\lambda_{3})+b(\lambda_{1}+\lambda_{3})+c(\lambda_{1}+\lambda_{2})}
[/mm]
Kann mir jemand weiterhelfen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:34 Di 19.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Aus der Def. von x,y und z folgt sofort:
$span(x,y,z) [mm] \subseteq [/mm] span(a,b,c).$
Zeige:
[mm] a=\bruch{1}{2}(-x+y+z), b=\bruch{1}{2}(x-y+z) [/mm] und [mm] c=\bruch{1}{2}(x+y-z).
[/mm]
Daraus folgt
$span(a,b,c) [mm] \subseteq [/mm] span(x,y,z).$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:48 Di 19.05.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | | a; b; c sind genau dann linear unabhängig, wenn x; y; z linear unabhängig sind. |
Kannst du mir auch hier ein Hinweis geben ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:04 Di 19.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> a; b; c sind genau dann linear unabhängig, wenn x; y; z
> linear unabhängig sind.
> Kannst du mir auch hier ein Hinweis geben ?
a,b,c sind linear unabhängig [mm] \gdw [/mm] dim(span(a, b, c)) = 3
FRED
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