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Hallo liebe Forumuser, ich weiß ihr habt mir schon bei manchen Fragen geholfen.
Auch jetzt habe ich wieder eine Frage:
Wie kann man allgemein eine inverse Matrix von einer 2x2 Matrix bestimmen?
Also in Abhängigkeit von den 4 Elementen dieser Matrix (a,b,c,d)?
Die einzige Möglichkeit, die ich kenne, man multipliziert die bekannte Matrix mit der unbekannten inversen Matrix und es kommt die Einheitsmatrix raus. Dann stellt man ein Gleichungssystem auf und löst es. Aber wie kann man die inverse Matrix ganz allgemein ohne diese Rumrechnerei ganz einfach bestimmen?
Tobias
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Hallo du!
> Wie kann man allgemein eine inverse Matrix von einer 2x2
> Matrix bestimmen?
> Also in Abhängigkeit von den 4 Elementen dieser Matrix
> (a,b,c,d)?
>
> Die einzige Möglichkeit, die ich kenne, man multipliziert
> die bekannte Matrix mit der unbekannten inversen Matrix und
> es kommt die Einheitsmatrix raus. Dann stellt man ein
> Gleichungssystem auf und löst es. Aber wie kann man die
> inverse Matrix ganz allgemein ohne diese Rumrechnerei ganz
> einfach bestimmen?
Eigentlich ist diese Möglichkeit eine sehr gute, denn sie funktioniert immer, auch wenn man die erste Matrix nicht kennt oder z. B. eine Matrix der Art [mm] \pmat{1&2\\3&a} [/mm] hat und a nicht kennt. Und diese Möglichkeit funktioniert auch für größere Matrizen immer - ist dann nur mehr Rechnerei.
Was man machen kann, wenn man die erste Matrix komplett gegeben hat (so wie du es wohl meinst), ist folgendes:
Nehmen wir als Beispiel die Matrix [mm] \pmat{1&2\\2&1}.
[/mm]
Diese Matrix "vergrößerst" du jetzt, indem du statt der rechten Klammer einen senkrechten Strich schreibst und daneben die Einheitsmatrix in der entsprechenden Größe (also [mm] $2\times [/mm] 2$). Ich weiß immer noch nicht, wie man das hier am gescheitesten schreibt, deshalb sieht es hier nicht ganz so schön aus...
[mm] \pmat{1&2&|&1&0\\2&1&|&0&1}
[/mm]
Nun formst du den linken Teil mit elementaren Zeilenumformungen so um, dass du links dann die Einheitsmatrix stehen hast. Gleichzeitig machst du aber jede Umformung auch mit der rechten Matrix (der Einheitsmatrix). Dann hast du am Ende links die Einheitsmatrix stehen und rechts die Inverse. In diesem Beispiel hier wäre das so:
[mm] \pmat{1&2&|&1&0\\2&1&|&0&1}
[/mm]
2. Zeile minus zweimal die 1. Zeile [mm] \to
[/mm]
[mm] \pmat{1&2&|&1&0\\0&-3&|&-2&1}
[/mm]
2. Zeile geteilt durch (-3) [mm] \to
[/mm]
[mm] \pmat{1&2&|&1&0\\0&1&|&\bruch{2}{3}&-\bruch{1}{3}}
[/mm]
1. Zeile minus zweimal die 2. Zeile [mm] \to
[/mm]
[mm] \pmat{1&0&|&-\bruch{1}{3}&\bruch{2}{3}\\0&1&|&\bruch{2}{3}&-\bruch{1}{3}}
[/mm]
Somit ist die Inverse Matrix: [mm] \pmat{-\bruch{1}{3}&\bruch{2}{3}\\\bruch{2}{3}&-\bruch{1}{3}}
[/mm]
Alles klar?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:53 So 19.03.2006 | | Autor: | tobinator |
Ok, alles klar, DANKE
tobinator
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:20 So 19.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
auch wenn schon ein Lösungsmöglichkeit genannt wurde, die auch für größere Matrizen klappt, gibt es für 2x2 Matrizen auch eine explizite Formel.
(die kann man sich natürlich schnell mit dem genannten Verfahren herleiten ; siehe auch  MatrixInvertierungGaussJordan)
es gilt:
[mm] $\pmat{ a & b \\ c & d}^{-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{ad-bc} \pmat{ d & -b \\ -c & a}$
[/mm]
viele Grüße
DaMenge
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