Allg. Lösung des lin. DGLS < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 So 03.02.2008 | | Autor: | Tyvan |
| Aufgabe | a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des linearen Differentialgleichungssystems:
[mm] \dot x_{1}(t)= x_{1}(t) [/mm] + [mm] 3x_{2}(t)
[/mm]
[mm] \dot x_{2}(t)= 2x_{2}(t)
[/mm]
b)Welche spezielle Lösung des Differentialgleichungssystems aus Aufgabenteil (a) gehört
zum Anfangswert:
[mm] \vektor{x_{1}(0) \\ x_{2}(0)} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 1}
[/mm]
Bestimmen Sie die Ruhelage(n) des Differentialgleichungssystems aus Aufgabenteil (a)
und untersuchen Sie diese auf Stabilität. |
Hallo,
ich habe diese Aufgabe selbst gelöst. Doch ein Teil meiner Lösung stimmt nicht mit der gegebenen Lösung überein.
Zuerst muss man das DGLS als Matrix darstellen. Dann die Eigenwerte bestimmen. Diese lauten [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=2
[/mm]
Die Eigenvektoren sind für [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] gleich [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und für [mm] \lambda_{2}=2 [/mm] gleich [mm] \vektor{3 \\ 1}. [/mm] Doch in der Lösung steht für [mm] \lambda_{2}=2 [/mm] der Eigenvektor [mm] \vektor{0.9487 \\ 0.3162}.
[/mm]
Hä? Wie kommen die darauf?
Meine allgemeine Lösung ist ja daher
[mm] \vektor{x_{1}(t) \\ x_{2}(t)} [/mm] = [mm] c_{1}\vektor{1\\0}e^{t} [/mm] + [mm] c_{2}\vektor{3 \\ 1}e^{2t}.
[/mm]
Doch der zweite Vektor müsste ja laut Lösung [mm] \vektor{0.9487 \\ 0.3162} [/mm] lauten.
Auch habe ich für [mm] c_{1} [/mm] und [mm] c_{2} [/mm] gleich 1 ermittelt. Doch da haben die auch jeweils 2,5 und 0,5 raus.
Was geht hier genau vor?
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Hallo Tyvan,
> Doch der zweite Vektor müsste ja laut Lösung [mm]\vektor{0.9487 \\ 0.3162}[/mm]
> lauten.
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> Auch habe ich für [mm]c_{1}[/mm] und [mm]c_{2}[/mm] gleich 1 ermittelt. Doch
> da haben die auch jeweils 2,5 und 0,5 raus.
>
> Was geht hier genau vor?
in der Musterlösung ist der Eigenvektor zu [mm]\lambda_{2}=2[/mm] normiert worden, also den Eigenvektor so normiert, dass er den Betrag 1 hat.
Da in der Musterlösung ein anderer Eigenvektor verwendet wurde, hat die Musterlösung dann auch andere Werte für [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm].
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 So 03.02.2008 | | Autor: | Tyvan |
Heisst das jetzt, dass meine Lösung falsch ist? Wenn ja, warum? Ich habe doch einen korrekten Ansatz gemacht.
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Hallo Tyvan,
> Heisst das jetzt, dass meine Lösung falsch ist? Wenn ja,
> warum? Ich habe doch einen korrekten Ansatz gemacht.
nein. Das heisst nur, daß in der Musterlösung was anderes steht, als Du herausbekommen hast.
Gruß
MathePower
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