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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Für ein $h>0$ sei die folgende Matrix gegeben:
[mm] $A\,:=\,\pmat{ \frac{2}{3}h & \frac{1}{6}h & 0 & \cdots & 0 \\
\frac{1}{6}h & \frac{2}{3}h & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \frac{2}{3}h & \frac{1}{6}h \\
0 & \cdots & 0 &\frac{1}{6}h & \frac{2}{3}h}$
[/mm]
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Hallo an alle,
ich möchte gerne zeigen, dass die obige Matrix (für jede Dimension [mm] $n\in\IN$) [/mm] positiv definit ist. Dies möchte ich gerne mittels einer Induktion über die Dimension der Matrix zeigen, indem ich die Determinante beispielsweise mit
[mm] $\det(A)\,:=\,\sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}\det(A_{1j})$
[/mm]
berechne. Nun fällt mir aber leider Gottes keine geschlossene Formel ein, die ich zur Induktionsbehauptung verwenden könnte. Ich habe die Determinante bereits für die ersten vier Dimensionen berechnet, aber kann dabei keinen Zusammenhang feststellen.
Hat jemand von euch eine Idee? Wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte.
Gruß
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> Für ein [mm]h>0[/mm] sei die folgende Matrix gegeben:
>
> [mm]$A\,:=\,\pmat{ \frac{2}{3}h & \frac{1}{6}h & 0 & \cdots & 0 \\
\frac{1}{6}h & \frac{2}{3}h & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \frac{2}{3}h & \frac{1}{6}h \\
0 & \cdots & 0 &\frac{1}{6}h & \frac{2}{3}h}$[/mm]
>
> Hallo an alle,
>
> ich möchte gerne zeigen, dass die obige Matrix (für jede
> Dimension [mm]n\in\IN[/mm]) positiv definit ist. Dies möchte ich
> gerne mittels einer Induktion über die Dimension der Matrix
> zeigen, indem ich die Determinante beispielsweise mit
>
> [mm]\det(A)\,:=\,\sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}\det(A_{1j})[/mm]
Hallo,
mir kommt dieser Weg ziemlich unpraktisch vor. Um die Definitheit zu bestimmen, mußt Du ja noch (n-1) weitere Determinanten ausrechnen, oder verstehe ich etwas falsch?
Ich finde, man kann schlecht erkennen, wie die Matrix gemacht ist.
Ist es eine Diagonalblockmatrix mit lauter 2x2-Blöckchen auf der Diagonalen?
In diesem Fall würde ich die Eigenwerte zu berechnen versuchen und daraus auf die Definitheit schließen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Do 12.06.2008 | | Autor: | Denny22 |
> > Für ein [mm]h>0[/mm] sei die folgende Matrix gegeben:
> >
> > [mm]$A\,:=\,\pmat{ \frac{2}{3}h & \frac{1}{6}h & 0 & \cdots & 0 \\
\frac{1}{6}h & \frac{2}{3}h & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \frac{2}{3}h & \frac{1}{6}h \\
0 & \cdots & 0 &\frac{1}{6}h & \frac{2}{3}h}$[/mm]
>
> >
> > Hallo an alle,
> >
> > ich möchte gerne zeigen, dass die obige Matrix (für jede
> > Dimension [mm]n\in\IN[/mm]) positiv definit ist. Dies möchte ich
> > gerne mittels einer Induktion über die Dimension der Matrix
> > zeigen, indem ich die Determinante beispielsweise mit
> >
> > [mm]\det(A)\,:=\,\sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}\det(A_{1j})[/mm]
>
> Hallo,
>
> mir kommt dieser Weg ziemlich unpraktisch vor. Um die
> Definitheit zu bestimmen, mußt Du ja noch (n-1) weitere
> Determinanten ausrechnen, oder verstehe ich etwas falsch?
Ich dachte, dass wenn ich eine allgemeine Formel für die Determinante bekäme, so könnte ich diese allgemeine Formel für jede Dimension mit einer Konstanten größer 0 abschätzen. Daher mein Ansatz.
> Ich finde, man kann schlecht erkennen, wie die Matrix
> gemacht ist.
Finde ich eigentlich nicht. Die Punkte sprechen doch für sich, oder?
> Ist es eine Diagonalblockmatrix mit lauter 2x2-Blöckchen
> auf der Diagonalen?
Auf der Hauptdiagonalen stehen lauter [mm] $\frac{2}{3}h$ [/mm] Einträge und auf den 1. Nebendiagonalen lauter [mm] $\frac{1}{6}h$ [/mm] Einträge. Der Rest sind Nullen. Also liegt sozusagen eine Tridiagonalmatrix vor.
> In diesem Fall würde ich die Eigenwerte zu berechnen
> versuchen und daraus auf die Definitheit schließen.
Wäre schön, wenn mir dabei jemand unter die Arme greifen könnte.
> Gruß v. Angela
Gruß
>
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Do 12.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum folgst du angelas Vorschlag nicht mal erst für 2, 3, 4 und siehst wies läuft?
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:37 Fr 13.06.2008 | | Autor: | Denny22 |
> Hallo
Hallo
> warum folgst du angelas Vorschlag nicht mal erst für 2, 3,
> 4 und siehst wies läuft?
Nee, leider nicht. Wie läuft's denn?
> Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mo 16.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> > > Für ein [mm]h>0[/mm] sei die folgende Matrix gegeben:
> > >
> > > [mm]$A\,:=\,\pmat{ \frac{2}{3}h & \frac{1}{6}h & 0 & \cdots & 0 \\
\frac{1}{6}h & \frac{2}{3}h & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \frac{2}{3}h & \frac{1}{6}h \\
0 & \cdots & 0 &\frac{1}{6}h & \frac{2}{3}h}$[/mm]
> Der Rest sind Nullen. Also liegt sozusagen eine
> Tridiagonalmatrix vor.
Hallo,
gut, dann funktioniert das mit den determinanten natürlich wirklich halbwegs bequem, den die nächste Hauptminore ist dann ja die "kleinere" Determinante.
Ist Dir klar, daß die Det Deiner nxn-Matrix das Produkt ist aus [mm] h^n/6^n [/mm] und der Det. einer nxn-Matrix mit 4en auf der Hauptdiagonalen und Einsen auf der Nebendiagonalen. Die Det v. letzterer scheint mir [mm] 4^{n-2}*14 [/mm] zu sein, Fehler nicht völlig ausgeschlossen. EDIT: Fehler ist ganz sicher enthalten
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:41 Fr 13.06.2008 | | Autor: | Denny22 |
> Hallo,
Hallo
> gut, dann funktioniert das mit den determinanten natürlich
> wirklich halbwegs bequem, den die nächste Hauptminore ist
> dann ja die "kleinere" Determinante.
>
> Ist Dir klar, daß die Det Deiner nxn-Matrix das Produkt ist
> aus [mm]h^n/6^n[/mm] und der Det. einer nxn-Matrix mit 4en auf der
> Hauptdiagonalen und Einsen auf der Nebendiagonalen.
Ja. Das liegt daran, das wir Skalare rausziehen können.
>Die Det v. letzterer scheint mir [mm]4^{n-2}*14[/mm] zu sein, Fehler nicht
> völlig ausgeschlossen.
Stimmt leider nicht. Nur für 3.
> Gruß v. Angela
>
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> Ich dachte, dass wenn ich eine allgemeine Formel für die
> Determinante bekäme, so könnte ich diese allgemeine Formel
> für jede Dimension mit einer Konstanten größer 0
> abschätzen. Daher mein Ansatz.
Hallo,
ich bin mir ziemlich sicher, jetzt etwas Brauchbares über die Determinante zu haben:
Wenn [mm] D_n [/mm] die Determinante der nxn-Matrix (mit den Vieren und Einsen) ist, so ist
[mm] D_1=4
[/mm]
[mm] D_2=15
[/mm]
[mm] D_{n+1}=4D_n [/mm] - [mm] D_{n-1}.
[/mm]
Das ist natürlich noch beweisbedürftig.
Daß [mm] D_n [/mm] immer größer als Null ist, kann man dann wohl mit Induktion beweisen, ich denke, man muß erst zeigen, daß [mm] 4^{n-1}\le D_n\le 4^n [/mm] ist, hab's aber nicht gerechnet.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 Fr 13.06.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
danke schon einmal. Ich denke, dass hört sich gut an. Ich schau mal, was ich daraus machen kann.
Gruß
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