Allg. Berechnung Winkel < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Fr 03.10.2008 | | Autor: | RuffY |
| Aufgabe | Berechne ganz allg. den Winkel zwischen den Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}, [/mm] wenn [mm] |\vec{a}x\vec{b}|=1 [/mm] und das Skalarprodukt [mm] \vec{a}*\vec{b}=-1 [/mm] ist.
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Hallo,
zu oben stehender Aufgabe fehlt mir leider nach langer Überlegung der Ansatz, ich habe in meinen Aufzeichnungen und in Formelsammlungen geschaut, ob ich irgendwie das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt sinnvoll zusammenbasteln kann, aber etwas sinniges ist leider nicht herausgekommen...habt ihr eine Idee?
Grüße
Sebastian
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> Berechne ganz allg. den Winkel zwischen den Vektoren
> [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b},[/mm] wenn [mm]|\vec{a}x\vec{b}|=1[/mm] und das
> Skalarprodukt [mm]\vec{a}*\vec{b}=-1[/mm] ist.
>
> Hallo,
>
> zu oben stehender Aufgabe fehlt mir leider nach langer
> Überlegung der Ansatz, ich habe in meinen Aufzeichnungen
> und in Formelsammlungen geschaut, ob ich irgendwie das
> Skalarprodukt und das Kreuzprodukt sinnvoll zusammenbasteln
> kann, aber etwas sinniges ist leider nicht
> herausgekommen...habt ihr eine Idee?
>
> Grüße
>
> Sebastian
a und b seien die Beträge der beteiligten Vektoren und
[mm] \varphi [/mm] ihr Zwischenwinkel.
Du kennst sicher die Formeln
[mm]|\vec{a}\times\vec{b}|=a*b*|sin(\varphi)|[/mm]
und
[mm] \vec{a}*\vec{b}=a*b*cos(\varphi)
[/mm]
Mit den Vorgaben der Aufgabe ergeben sich also die Gleichungen
[mm] a*b*|sin(\varphi)|=1 [/mm] und [mm] a*b*cos(\varphi)=-1
[/mm]
Dividiert man die linken und die rechten Seiten(***), hat man:
[mm] \bruch{|sin(\varphi)|}{cos(\varphi)}=-1
[/mm]
Daraus kann man schliessen, dass [mm] |tan(\varphi)|=1.
[/mm]
Ausserdem muss [mm] cos(\varphi) [/mm] negativ sein und damit [mm] \varphi
[/mm]
ein stumpfer Winkel. Dies passt nur, wenn [mm] \varphi=\bruch{3}{4}\pi=135°.
[/mm]
Der Fall [mm] \varphi=225° [/mm] darf weggelassen werden, weil man
als Winkel zwischen Vektoren stets den im Intervall [0...180°] nimmt.
(***) dies ist hier sicher möglich, weil ja eben [mm] a*b*cos(\varphi)=-1≠0 [/mm] vorausgesetzt ist !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Fr 03.10.2008 | | Autor: | RuffY |
> a und b seien die Beträge der beteiligten Vektoren und
> [mm]\varphi[/mm] ihr Zwischenwinkel.
> Du kennst sicher die Formeln
>
> [mm]|\vec{a}\times\vec{b}|=a*b*|sin(\varphi)|[/mm]
>
> und
>
> [mm]\vec{a}*\vec{b}=a*b*cos(\varphi)[/mm]
>
> Mit den Vorgaben der Aufgabe ergeben sich also die
> Gleichungen
>
> [mm]a*b*|sin(\varphi)|=1[/mm] und [mm]a*b*cos(\varphi)=-1[/mm]
>
> Dividiert man die linken und die rechten Seiten(***), hat
> man:
>
> [mm]\bruch{|sin(\varphi)|}{cos(\varphi)}=-1[/mm]
>
> Daraus kann man schliessen, dass [mm]|tan(\varphi)|=1.[/mm]
bis hierhin kann ich dir folgen...
Jedoch kann ich nicht nachvollziehen, warum:
> Ausserdem muss [mm]cos(\varphi)[/mm] negativ sein und damit
> [mm]\varphi[/mm]
> ein stumpfer Winkel.
Und im folgenden ist mir die Beziehung dem stumpfen Winkel und:
> Dies passt nur, wenn
> [mm]\varphi=\bruch{3}{4}\pi=135°.[/mm]
> Der Fall [mm]\varphi=225°[/mm] darf weggelassen werden, weil man
> als Winkel zwischen Vektoren stets den im Intervall
> [0...180°] nimmt.
>
nicht klar. Ich wäre bereits intuitiv bei dem Ausdruck [mm]|tan(\varphi)|=1.[/mm] davon ausgegangen, dass [mm]\varphi=arctan(1)[/mm] ist.
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> > a und b seien die Beträge der beteiligten Vektoren und
> > [mm]\varphi[/mm] ihr Zwischenwinkel.
> > Du kennst sicher die Formeln
> >
> > [mm]|\vec{a}\times\vec{b}|=a*b*|sin(\varphi)|[/mm]
> >
> > und
> >
> > [mm]\vec{a}*\vec{b}=a*b*cos(\varphi)[/mm]
> >
> > Mit den Vorgaben der Aufgabe ergeben sich also die
> > Gleichungen
> >
> > [mm]a*b*|sin(\varphi)|=1[/mm] und [mm]a*b*cos(\varphi)=-1[/mm]
> >
> > Dividiert man die linken und die rechten Seiten(***), hat
> > man:
> >
> > [mm]\bruch{|sin(\varphi)|}{cos(\varphi)}=-1[/mm]
> >
> > Daraus kann man schliessen, dass [mm]|tan(\varphi)|=1.[/mm]
> bis hierhin kann ich dir folgen...
>
> Jedoch kann ich nicht nachvollziehen, warum:
> > Ausserdem muss [mm]cos(\varphi)[/mm] negativ sein und damit
> > [mm]\varphi[/mm]
> > ein stumpfer Winkel.
Wegen [mm] a\ge [/mm] 0 und [mm] b\ge [/mm] 0 folgt aus [mm]a*b*cos(\varphi)=-1[/mm],
dass [mm] cos(\varphi) [/mm] negativ sein muss.
>
> Und im folgenden ist mir die Beziehung dem stumpfen Winkel
> und:
> > Dies passt nur, wenn
> > [mm]\varphi=\bruch{3}{4}\pi=135°.[/mm]
> > Der Fall [mm]\varphi=225°[/mm] darf weggelassen werden, weil
> man
> > als Winkel zwischen Vektoren stets den im Intervall
> > [0...180°] nimmt.
> >
> nicht klar. Ich wäre bereits intuitiv bei dem Ausdruck
> [mm]|tan(\varphi)|=1.[/mm] davon ausgegangen, dass [mm]\varphi=arctan(1)[/mm]
> ist.
Die Gleichung [mm] |tan(\varphi)|=1 [/mm] führt auf die Möglichkeiten
[mm] tan(\varphi)=1 [/mm] (---> [mm] \varphi=45° [/mm] oder [mm] \varphi=225°)
[/mm]
[mm] tan(\varphi)=-1 [/mm] (---> [mm] \varphi=-45°\hat=315° [/mm] oder [mm] \varphi=135°)
[/mm]
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