Alle Überlagerungen bestimmen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Sa 19.11.2011 | | Autor: | skoopa |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Überlagerungen von
i) der reellen projektiven Ebene [mm] $\IR P^2$
[/mm]
ii) dem 2-dimensionalen Torus |
Hallo!
Also ich hab irgendwie Probleme einen Ansatz für die obige Aufgabe zu finden.
Ich weiß, dass die 2-Sphäre eine 2-blättrige Überlagerung der projektiven Ebene ist und die reelle Ebene eine Überlagerung des 2-Torus.
Aber irgendwie weiß ich so gar nicht, wie ich auf alle Überlagerungen kommen soll.?
Oder wie ich zeigen soll, dass es sich um alle Überlagerungen handelt.
Meine einzige, magere Idee ist, dass vielleicht irgendwie alle Überlagerungen dieser Räume zu den Überlagerungen, die ich oben angegeben hab äquivalent sind, oder man die ineinander überführen kann. Hab allerdings keinen Schimmer wie...
Vielleicht hat mir ja jemand einen Ansatz. Wäre sehr froh darum!
Danke im Voraus!
Beste Grüße!
skoopa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:37 Mo 21.11.2011 | | Autor: | Berieux |
Hi!
> Bestimmen Sie alle Überlagerungen von
> i) der reellen projektiven Ebene [mm]\IR P^2[/mm]
> ii) dem
> 2-dimensionalen Torus
> Hallo!
> Also ich hab irgendwie Probleme einen Ansatz für die
> obige Aufgabe zu finden.
> Ich weiß, dass die 2-Sphäre eine 2-blättrige
> Überlagerung der projektiven Ebene ist und die reelle
> Ebene eine Überlagerung des 2-Torus.
> Aber irgendwie weiß ich so gar nicht, wie ich auf alle
> Überlagerungen kommen soll.?
> Oder wie ich zeigen soll, dass es sich um alle
> Überlagerungen handelt.
> Meine einzige, magere Idee ist, dass vielleicht irgendwie
> alle Überlagerungen dieser Räume zu den Überlagerungen,
> die ich oben angegeben hab äquivalent sind, oder man die
> ineinander überführen kann. Hab allerdings keinen
> Schimmer wie...
> Vielleicht hat mir ja jemand einen Ansatz. Wäre sehr froh
> darum!
Weißt du denn was die Fundamentalgruppe von [mm] RP^2 [/mm] bzw. [mm] T^2 [/mm] ist? In welchem Zusammenhang stehen Fundamentalgruppe und Überlagerungen eines Raumes?
Beste Grüße,
Berieux
> Danke im Voraus!
> Beste Grüße!
> skoopa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Mi 23.11.2011 | | Autor: | todo12 |
Hallo,
ich sitze vor der gleichen Aufgabe. Ich weiß daß
[mm] \pi_1 [/mm] ( $ [mm] RP^2 [/mm] $ ) = [mm] \IZ/2\IZ [/mm] und [mm] \pi_1 [/mm] ( $ [mm] T^2 [/mm] $ ) = [mm] \IZ \times \IZ. [/mm] Leider kann ich mit deinem zweiten Hinweis nicht so recht viel angefangen. Ich weiß wie einzelne Überlagerungen mit der Fundamentalgruppe zusammen hängen aber ich kann leider nichts finden das eine Aussage macht über die Anzahl der Überlagerungen oder ähnliches. Kannst du mir einen Tipp geben was ich verwenden soll?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 Do 24.11.2011 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
> Hallo,
>
> ich sitze vor der gleichen Aufgabe. Ich weiß daß
> [mm]\pi_1[/mm] ( [mm]RP^2[/mm] ) = [mm]\IZ/2\IZ[/mm] und [mm]\pi_1[/mm] ( [mm]T^2[/mm] ) = [mm]\IZ \times \IZ.[/mm]
> Leider kann ich mit deinem zweiten Hinweis nicht so recht
> viel angefangen. Ich weiß wie einzelne Überlagerungen mit
> der Fundamentalgruppe zusammen hängen aber ich kann leider
> nichts finden das eine Aussage macht über die Anzahl der
> Überlagerungen oder ähnliches. Kannst du mir einen Tipp
> geben was ich verwenden soll?
Die Fundamentalgruppe operiert durch Decktransformationen auf der universellen Überlagerung (im Fall von [mm] RP^2 [/mm] ist das [mm] S^2, [/mm] und im Fall von [mm] T^2, R^2).
[/mm]
Darum hat man eine Bijektion zwischen den Überlagerungen, und den Untergruppen der Fundamentalgruppe. Zwei Überlagerungen sind genau dann äquivalent, wenn die jeweiligen Untergruppen zueinander konjugiert sind. Es geht also darum, die Untergruppen bis auf Konjugation zu bestimmen.
Beste Grüße,
Berieux
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