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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Di 22.09.2015 | | Autor: | Mino1337 |
| Aufgabe | | Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung [mm] cos^{4}(x)=-cos^{2}(x)sin^{2}(x) [/mm] |
Mein Problem ist das ich nicht Verstehe wie man auf folgende umformung kommt:
[mm] cos^{2}(x)[cos^{2}(x)+sin^{2}(x)]=0
[/mm]
Egal wie ich es anstelle ich komme auf:
[mm] cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=0 [/mm] und laut einer Tabelle in meinem Mathebuch steht dann dort 0=1 weil [mm] cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=1 [/mm] ist.
Mein erster Schritt war:
[mm] cos^{4}(x)=-cos^{2}(x)sin^{2}(x) [/mm] durch [mm] cos^{2} [/mm] teilen
[mm] cos^{2}(x)= -sin^{2}(x) +sin^{2}(x)
[/mm]
[mm] cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=0
[/mm]
weiss ich irgendetwas nicht was man beachten müsste bei solchen Aufgaben ?!
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Hallo Mino,
> Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung
> [mm]cos^{4}(x)=-cos^{2}(x)sin^{2}(x)[/mm]
> Mein Problem ist das ich nicht Verstehe wie man auf
> folgende umformung kommt:
>
> [mm]cos^{2}(x)[cos^{2}(x)+sin^{2}(x)]=0[/mm]
Durch Ausklammern von [mm] \cos^2{(x)}.
[/mm]
> Egal wie ich es anstelle ich komme auf:
>
> [mm]cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=0[/mm] und laut einer Tabelle in meinem
> Mathebuch steht dann dort 0=1 weil [mm]cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=1[/mm]
> ist.
Diese Beziehung solltest Du kennen und nicht erst nachschauen müssen. Sie ist wirklich grundlegend und wichtig.
> Mein erster Schritt war:
>
> [mm]cos^{4}(x)=-cos^{2}(x)sin^{2}(x)[/mm] durch [mm]cos^{2}[/mm]
> teilen
Das ist das Problem.
Um das tun zu dürfen, musst Du sicherstellen, dass [mm] \cos{(x)}\neq{0} [/mm] ist.
Wenn Du nur ausklammerst, brauchst Du Dich darum nicht zu kümmern.
> [mm]cos^{2}(x)= -sin^{2}(x) +sin^{2}(x)[/mm]
>
> [mm]cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=0[/mm]
Tja, das ist dann eine nicht erfüllbare Gleichung.
> weiss ich irgendetwas nicht was man beachten müsste bei
> solchen Aufgaben ?!
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Mi 23.09.2015 | | Autor: | fred97 |
Reverend hat recht: die Identität
(1) $ [mm] cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=1 [/mm] $
sollte man kennen.
Die Aufgabe kann man auch ohne diese Identität lösen. Gesucht sind alle $x [mm] \in \IR [/mm] $ mit
$ [mm] cos^{4}(x)=-cos^{2}(x)sin^{2}(x) [/mm] $.
Dazu setzen wir a:=cos(x) und b:=sin(x) und bekommen
(2) [mm] a^4=-a^2b^2.
[/mm]
Die linke Seite in (2) ist [mm] \ge [/mm] 0 und die rechte Seite in (2) ist [mm] \le [/mm] 0. Somit ergibt sich
[mm] a^4=0.
[/mm]
Das ist gleichbedeutend mit
cos(x)=0.
Fazit: x ist eine Lösung der Gleichung (1) [mm] \gdw [/mm] x ist Nullstelle des Cosinus.
Die Lösungsmenge der Gl. (1) ist also
[mm] \{\bruch{\pi}{2}+k \pi : k \in \IZ \}.
[/mm]
FRED
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